=√141
+11 +22
39 24-1=23,y,z)(x, 1, -1)
=(6-x, 2y-1, 2z+1)
ab=0とすると
よって
(6-x. 2y-1, 2z+1)=(0, 0, 0)
6-x=0, 2y-1=0, 2z+1 = 0
ゆえに x=6, y==-
Osa+to+uc
=s(1,2,3)+0.25)+# (1,3,1)
= (s+u, 2s+2t+3u, 3s+5t+u)
p=sa+to+uc とおくと
_ 3,12)= (s+ u, 2s + 2t+3, 3s + 5t+)
って s+u=0.2s+2+3=3.
3s+5t+w=12
目を解いて
たがって
s=1,t=2, u=-1
p=a+2b-c
= sa +to+uc とおくと
■, 2,9)= (s+u,2s+2t+3u, 3s+5t+a)
s+u=-2,2s+2t+3u=2,
3s+5t+u=9
を解いて = -2,t=3,u=0
がって
9=-2a+36
OOA=(0, 1, 2)
OA| =VO2+12+22=√5
=(2,1,-1)
|=√22+12+(-1)²=√6
=(1-0, -1-1, 1-2)=(1, -2, -1)
=√12+(-2)2+(−1)2=√6
(2-0, 1-1, -1-2)=(2, 0, -3)
=√22+02+(-3)²=√13
2-1, 1-(-1), -1-1)=(1, 2, -2)
=√1°+2°+(-2)²=3
ABCD が平行四辺形であるための必
時はAD=BC である。
座標を (x, y, z) とすると
=(x-3, y-4,-1)
=(-1-4, 0-2, 2-4)
ゆえに
-(-5.-2,-2)
(x-3, y-4, 2-1)-(-5.-2.-2)
よって x-3--5, y-4-2, 2-1--2
これを解いて
x=-2, y=2, 2-1
したがって、 頂点の座標は
103■指針
よって、園のとき最小値
√をとる。
(-2, 2, -1)
このとき
*-(-4 -½ 4)
与えられた3点A, B, Cにもつ平行
辺形は複数考えられることに注意する。
それぞれの場合で、四角形が平行四辺形にな
る条件を考える。
105 a+x + ye
条件を満たす平行四辺形は
[1] 平行四辺形ABCD
[2] 平行四辺形ABDC
[3] 平行四辺形ADBC
の3つの場合が考えられる。
頂点の座標を(x, y, z)とする。
[1] 四角形ABCD が平行四辺形であるための必
要十分条件は AD-BC
よって (x3,y-0, z+4)
(4+2, 3-5, 2+1).
x3=6, y=-2. z+4=3
したがって x=9. y=-2,z=-1
ゆえに
[2] 四角形 ABDC が平行四辺形であるための必
要十分条件は
AB-CD
よって
(-2-35-0,-1+4)
=(x-4, y-3, z2) A
ゆえに -5-x-4, 5-y-3, 3-2-2
したがって
x=-1,y=8, z=5
[3] 四角形 ADBC が平行四辺形であるための必
要十分条件は
AD=CB
よって (x-3. y-0, z+4)
=(-2-4. 5-3, 1-2)
ゆえに
って
x-3=-6. y=2, z+4=-3
x=-3, y=2, z=-7
[1]~[3] から, 頂点の座標は
(9, -2, -1), (-1. 8, 5), (-3. 2. -7)
104 =a+b=(0, 1, 2)+(2, 4, 6)-1-50
=(2t, 1+4t, 2+6t)
よって
-A
|x|=(2t)2+(1+4t)' + (2+6) 2
=56t2+32 +5
=56(+)²+
ラノラ
22 3A-A
ゆえに、はのとき最小値をとる。
xであるから,このときも最小となる。
(1.-1.-3)+4(2, 2, 1)+x-1, -1, 0)
=(2x-y+1.2x-y-1. 3)
よって
la + x + y 2
=(2x-y+1)+(2x-y-1)+(x-3)2
=(2x-y)2 +2.2x-y) +1
+(2x-3)-22x-y)+1+(x-3)2
22x)+(x-3)2 +2
1. la+x+12 12 2x-y=0. x-3=0
のとき、すなわちx=3, y=6のとき最小となる。
1++x120 であるから、このとき
++苑も最小となる。
よって、求めるxyの値は
106 平行六面体を
ABFD-CEHG & L
座標空間の原点をO
する。
AB (0-1, -4-1, 0-2)
=(-1, -5, 2)
x3,y=6
H
E
AC (-1-1, 1-1, -2-2)
=(-2, 0,-4)
AD=(2-1,3-15-2)
=(1,2,3)
A
FA・B、発展問題
四角形 ABEC, ABFD, ACGD, BEHFは平行
四辺形であるから
OË = OB+BE = OB+AC
=(0, -4.0)+(-2, 0, -4)
=(-2,4,-4)
OF = OB + BF = OB+AD
=(0, -4.0)+ (1,2,3)
=(1, -2, 3)
OG=OC+CG=OC+AD
=(-1, 1, -2)+(1,2,3)
=(0.3.1)
OH = OF + FH = OF +AC
=(1,2,3)+(-2.0.4)
=(-1,-2,-1)
なぜ?これかかないとダメ?
028 第2章 空間のベクトル
ベクトル
STEPB
B
*103 平行四辺形の3つの頂点がA(3, 0, 4), B(-2, 5, -1) (4,3, 2)のと
き、第4の頂点の座標を求めよ。
*1041=(0, 1, 2) = (246) とする。 =i(tは実数)についての
最小値を求めよ。 また、 そのときのを成分表示せよ。
4 ベクトル
1 内積
注意 =
2 内積と成分
1 ab=ab
2
+0, 6
105=(1,-1,-3),2,2,1)
(1,1,0) とする。 a+x+yclを
a
最小にする実数x, yの値を求めよ。
注意 平面上
例題10 4点A(1, -1, -1), B2, 2, 3), C(-1, 2, 4), D(3, 3, 1) が
ある。 線分AB, AC, AD を3辺とする平行六面体の他の頂点の座標
3 内積の性質
α・
を求めよ。
(a
(
指針 平行六面体
すべての面が平行四辺形
ABEC が平行四辺形であるから OE = OB+BE=OB+AC
このことから OF の成分が求められる。
平行六面体をABFD-CEHGとし 座標空間の原点を0とすると、 例えば、四角形
✓ 107 1辺の長
次の内
