Question

でぐ

この問題FAX法を利用しaを固定し解こうとしたのですが、p,qの文字もあって複雑で分かりません。教えて欲しいです。

6.
座標平面上の2点P, Q が, 曲線 y=x^(-1≦x≦1) 上を自由に動くとき, 線分 PQ を
1:2 に内分する点 Rが動く範囲をDとする。ただし,P=QのときはR=Pとする.
(1)a を-1≦a≦1 を満たす実数とするとき,点(a, b)がDに属するためのもの条件を
a を用いて表せ.
(2) D を図示せよ.
(07 東京大・理科 (前期))

Answer 1

✨ Best Answer ✨

GDO

P(p,p²)、Q(q,q²)、R((2p+q)/3,(2p²+q²)/3)とします
点(a,b)がDに属するには、
(a,b)は、((2p+q)/3,(2p²+q²)/3)の動く範囲となるので、
a=(2p+q)/3,b=(2p²+q²)/3として、aの動く範囲を(p,q)座標で考えます
-1≦p≦1,-1≦q≦1の正方形の範囲でaを固定してp,qが動く値を考える

b=(2p²+q²)/3を変形していくとb≧a²（最小）であることが分かる
（これはP=Qのときなのですぐに想像できると思います）

bが最大になるのは、正方形の座標上の淵のときであると考えられるので、
q=-2p+3aと正方形との交点座標で最大値を見つけます

正方形であり、左右対称的な計算になることことから、0≦a≦1で考えてみる（省力化）
0≦a≦1/3、1/3<a≦2/3、2/3<a≦1の場合分けが必要になると考えたが、
「1/3<a≦2/3、2/3<a≦1」 ⇒ 1/3<a≦1で良いことがわかる

0≦a≦1/3でのbの最大値は、q=-1、p=3/2a+1/2（正方形の淵の座標・交点）のとき
　最大値b=2/3(3/2a+1/2)²+1/3・(-1)²
　　=3/2(a+1/3)²+1/3･･･①

1/3<a≦1でのbの最大値は、q=1,p=3/2a-1/2またはp=1,q=3a-2の大きい方
　q=1、p=3/2a-1/2
　　　⇒　b=3/2(a-1/3)²+1/3･･･②
　p=1、q=3a-2
　　　⇒　b=3(a-2/3)²+2/3･･･③
調べてみると、1/3<a≦1の範囲では③の方が大きい

まとめると、
　0≦a≦1/3のとき、a²≦b≦3/2(a+1/3)²+1/3
　1/3<a≦1のとき、a²≦b≦3(a-2/3)²+2/3

-1≦a<0のときも同様（左右対称になるので省略）
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計算違いなどなければ、上記のようになると思います。違ってたらごめんなさい。
画像添付もなくて、ごめんなさい。

先にD（動く範囲）を予想しておくとイメージしやすいです
（2次関数が２つ現れそうな予測イメージ）
①と③のグラフだけでなく、②も図示すると理解が深まると思います。

でぐ

ありがとうございます！まる2を図示すると分かりやすくなりました😊