Question

かずこ

20の問題の全体の質問なのですが、どうして、(1)だったら、x＞0ということが分かるのでしょうか。また、(3)(4)は定義域が書いていないのでしょうか。教えてください🙇

□20 次の関数の逆関数を求め、そのグラフをかけ。
(1)* y=√x-3
(3) y = log 1 x
(2)y=-√2x+8
(4)* y = 3x + 2

20
(1) y=√x-38+8 ( ・・・ ①
① の値域はy≧0 であり,両辺を2乗
「(-)して,xについて解くと
関
y'=x-3よりx=y2+3
xとyを入れかえると, ①の逆関数は
x2+3 (x≧0)
よって, 逆関数のグラフは図のように
なる。
y4y=x2+3
y=x
y=√x-3
3
03
x

(2)y=2x+8
① の値域は y≦0 であり、両辺を2乗
して,xについて解くと
↓
1
y2=2x+8より
x=
xとyを入れかえると,①の逆関数は
y = √√x²-4 (x ≤ 0)
よって, 逆関数のグラフは図のように
なる。
y
y=x
y=
4
x2-4
2
y==√ √2x+8
(3) y = log 1 x
① を xについて解くと x=
3
xとyを入れかえると, ①の逆関数は
y=
387 022
よって, 逆関数のグラフは図のように
なる。
y=
13
y=x
x
|y=logx
(4) y = 3 +2
① を xについて解くと
y-2=3 より x=logs(y-2)
xとyを入れかえると, ①の逆関数は
y=logs(x-2)
よって, 逆関数のグラフは図のように
なる。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

もとの関数の値域が、逆関数の定義域になるのでしたよね

(1)は、グラフを描けば値域がy≧0であることはわかります
描かなくても、「√○」は全体として0以上なので、
「y=√(x-3)の右辺は0以上」から「左辺yも0以上」がいえます

値域がy≧0なので、
逆関数の定義域はx≧0です

(2)も同様に√(2x+8)≧0なので
-√(2x+8)≦0です
よってy≦0です
逆関数の定義域はx≦0ですね

(3)グラフを描くのが手っ取り早いですが、
値域は実数全体です（グラフが上から下まで全範囲にあります）
よって、逆関数の定義域は「実数全体」です
実数全体の場合、特に書かなくてもよいです

(4)グラフから、値域はy>2です
よって、逆関数の定義域はx>2です
……が、(4)は逆関数がlog₃(x-2)なんですよね
対数関数は、特に明記していなくても
「真数>0」を読み手が脳内補足しなくてはならないのでした
よって、書き手はあえて「x>2」を書かなくてもいいのです
（書いてもいいです

(1)〜(2)は、逆関数の定義域を書く/書かないで
別物になってしまうので、必須です
(4)は、書こうが書くまいがlogという形そのものが
x>2を言い含んでいるので、なくてもよいということです

Answer 2

ととろ

定義域は書いていなければ「全ての実数」
(1)は元のyは√(x-3)≧0 だったので
全ての実数だとまずい、のでx≧0
(2)も同様にx≦0

かずこ

(1)はx ≧3ではないのはなぜでしょうか。

ととろ

それは逆関数ではない、元の関数の定義域