Question

おもち

2枚目の写真の解答に≤や≥の不等号がないのはなぜですか？場合分けする時は、最低でも片方の不等号は以上、または以下にしなければならないと習った気がするのですが、、

次の不等式を解け。 ただし, αは定数とする
(1) ax +30
さとう果(2)(

a > 0 のとき x <-
a = 0 のとき 解なし
a < 0 のとき
a<0のとき
> -
x
x>
3
a
3
a

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

「場合分けする時は、最低でも片方の不等号は以上、
または以下にしなければならない」
は間違い（言い過ぎ）です

たとえば(i)A>Bと(ii)A=Bの2つの結果が同じなら、
2つをまとめてA≧Bとすることができて簡単になる、
ということであって、「必ずそうしなければならない」
ということではありません

毎回、まとめられるかを少し考えれば、可否は判断できます
今回は不等式で、「文字定数aで割る」工程があります
数学では0で割ることができないので、
aが0か0でないかでは大きく分けることになります
つまり、まとめられません
まとめられないから、=の場合は他の場合と一緒にできません

（aが0でない場合を、さらにaが正か負かに分けるのは
もちろんのことです

おもち

ありがとうございます！どちらかに以上、以下を含めないといけないのは絶対値記号を外す時であってますか？（一次不等式の単元で）また、他にあったりしますか？

和

解く過程で、
「どちらかに以上、以下を含めないと『いけない』」
という場面はありません

たとえば|x-1|=3を解く場面でも、
(i)x-1≧0(すなわちx≧1)のときx-1=3 ∴x=4(x≧1を満たす)
(ii)x-1<0(すなわちx<1)のとき-(x-1)=3 ∴x=-2(x<1を満たす)
としてももちろんいいですが、

(i)x-1>0(すなわちx>1)のときx-1=3 ∴x=4(x>1を満たす)
(ii)x-1=0(すなわちx=1)のとき0=3となるからx=1は不適
(iii)x-1<0(すなわちx<1)のとき-(x-1)=3 ∴x=-2(x<1を満たす)
のようにしても、まったく問題ありません

その結果はx=4, -2で同じですね

たぶん誰も「しないといけない」とは言っていないと思いますし、
言っている人がいるとしたら、それは間違い（言い過ぎ）です

いつでも>と=と<で場合分けすれば特に致命的な問題は出ません
しかし、それではあまりにも面倒でわずらわしい
（上の例で、わざわざx=1の場合を分けて考えなくてもよさそう）
と思ったら、=をどちらかにくっつけて、
たとえば≧と<で場合分けする、とかいう話になってきます

要するに、≧と<で場合分けをするというのは、
考え方、書き方の工夫（まとめることで省略したい）です