Question

cf.珈琲豆

確率統計の質問です。
章末1(3)の答えがなぜこのようになるのか教えて欲しいです。主に分母がわかりません。
お願いします。（解説はついていません）

変換) を使ったものが基本であるが,本書の範囲を
する45)
9.
分布を
章末問題
1.(1) n 桁の 2 進数は何通りの数を表せるか同様に,n桁の 10 進数は何通りの
数を表せるかの真とっては何
(2)9枚のカードがあり,それぞれに 1,...,9が記されているとする。このカードを
並べて n 桁の数をつくる際,うちk桁には 0 が入るものとする.k≦n≦10 とすると
き,このカードを並べてつくる n桁の数は何通りあるか.なお, 先頭に0があってもよ
いものとする.
(3) (2) のカード9枚がセットあるとする. このカードを並べてn桁の数をつくる
際うちん桁には 0 が入るものとする.r≧n≧ 10 とするとき,このカードを並べて
つくるn桁の数は何通りあるか.
2. ある製品1ロット 30個当たりに良品が27個, 不良品が3個入っているという.
45) 巻末の参考文献 [2]-[5], [9]-[12] [19] [20] を参照されたい。
10.
理を証
11.
1)=1
上また
12.
0,1,2
とな
1:
する
(

第1章
1. (1) 2", 10"
(2) nCk · 9Pn-k (3) nCk.
9r Pn-k
(r!)n-k
2. 不良品が 0, 1, 2, 3個である確率はそれぞれ
27C33Co
1053
585 27C2・3C1
30C3
= 812'
=
27C1 3C2 81
30 C3
4060'
30 C3
4060'
27C0-3C3 1
30C3
=
4060
3. t = n で位置 (n - 2k) にいるのは +1 が (n-k) 回, -1がk回起こったときで
ある.そのような移動の起こる確率は +1, -1のn個の並び方のパターンによらず同じ
n-k
k
で,どのパターンも (12)^(1/2)^(1/2)" の確率である。 +1, -1のn個の並び
=
方パターンは nCk 通りあるから、題意の確率となる.
4.n回試行を行う際にk回目が成功である事象を Ank とおくと,ド・モルガンの法
則より
(-n)..... (A
n
P(U Ank)-1-P(An)=1-(11)
an
k=1

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

nCk × 9ⁿ⁻ᵏが正しいように思いますが…

cf.珈琲豆

解答が間違っている、ということでしょうか？🤔
なぜnCk・9^(n-k)になるのかも教えていただきたいです。

cf.珈琲豆

調べてみましたが間違っていないようです…

和

いえ、何とも自信がありませんが…

(2)は、n桁のうちどのk個に0が入るかでnCk
さらに、異なる9種類の数から異なるn-k個選んで
残りの枠に並べるので₉Pₙ₋ₖです
（1〜9の各数は1個ずつしかないので、こうなります

同様に考えると、(3)は
n桁のうちどのk個に0が入るかでnCk、
残りn-k枠を1〜9で埋めます
(3)は、1〜9の各数はr個ずつ(≧n≧n-k)あるので、
残り枠をすべて同じ数で埋めることもできます

残り枠の左から順に、1枠につき1〜9の9通りずつなので
9×9×9×……×9 (n-k個の積)
=9ⁿ⁻ᵏ 通り
よってnCk × 9ⁿ⁻ᵏのように思うのですが…

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「調べてみましたが間違っていない」というのは、
どのように調べた感じでしょうか？

たとえばn=10, k=9, r=10などとすると、
1〜9のセットがr=10セットあり、n=10桁の数をつくります
このうちk=9桁には0が入ります
残りn-k = 10-9 = 1桁には1〜9が入ります

nCk × 9ⁿ⁻ᵏだと10×9 = 90、
模範解答だと10×90/(10!)です
そもそも分子9rC(n-k)に比べて、
分母(r!)^(n-k)は階乗で指数的だから
分母が大きくなりすぎると思いました

cf.珈琲豆

すみませんさっき気づいて消そうと思ったんですが,,
過信してるわけじゃないんですがAIに解かせたらそれらしいこと言ってたので…（それでも解説何言ってるのかわからず…）
確かにkの値によって分母が大きくなり過ぎてしまいますね…
完全に理解しました、ありがとうございました！
別の問題でもミスがあったのであまり解答もAIも信じないようにします

和

いえいえ、何か問題の条件を、
こちらが突き詰め損ねているような気もします
私の話も、話半分でお願いします

AIの回答には「ここはこう明らかにおかしいのでは？」とか
部分的に突っ込んだり、
「他の例ではこうなんだけど？」とか
他の参考データとかを回答に続けて再質問すると
正しく返してきたりもするので、
お時間の許す限りお試しください

cf.珈琲豆

遅くなりましたが、試しにやってみたところAIの結論は「正直誤植や不完全な問題の可能性が高い」に落ち着きました。でもあくまでAIの判断ですし、問題の解釈が間違っている可能性も否定できないのでなんとも言えませんね…同じ章末問題の中でもほかに明らかなミスがあったり、誤植と疑わしきものが見つかっているので、時間ある時にまた良くよく考えてみようかと思います。ありがとうございました。