Question

のあ

数Aの場合の数の問題です。
(2）を教えて欲しいです🙇‍♀️💦

の類題 43
nは2以上の整数とする. 異なるn個のボールを4つの箱に入れる方
671
法について考える. ただし, 空の箱は2つ以下であるとする.
[1] 箱を区別するとき,入れ方は何通りか.
101 4
[2] 箱を区別しないとき 入れ方は何通りか.
(解答 解答編n18)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

トトロ

1️⃣1つの箱にだけ入れる→1通り
これは空箱3個なのでだめ
2️⃣2つの箱にだけ入れる(空箱は2つ)
n個のビー玉をA,Bに分けるなら 2ⁿ通り
片方が空になる場合を除外 -2
箱は区別しないので 2!で割る
→ (2ⁿ-2)/2! 通り
3️⃣3つの箱にだけ入れる
ABCの箱に入れるとすると 3ⁿ通り
このうち、
1つにしか入らない場合 ₃C₁通り
2つにしか入らない場合 ₃C₂×(2ⁿ-2)通り
を除外
3ⁿ - ₃C₁ - ₃C₁×(2ⁿ-2)
= 3ⁿ - 3 - 3×(2ⁿ-2)
= 3ⁿ - 3×2ⁿ + 3
箱を区別しないので 3!で割る
→ (3ⁿ - 3×2ⁿ + 3)/3! 通り
4️⃣4つの箱に入れる場合
箱をABCD とすると 4ⁿ通り
1つにしか入らない場合 ₄C₁通り
2つにしか入らない場合 ₄C₂×(2ⁿ-2)通り
3つにしか入らない場合 ₄C₃×(3ⁿ - 3×2ⁿ + 3)通り
を除外
4ⁿ - ₄C₁ - ₄C₂×(2ⁿ-2) - ₄C₃×(3ⁿ - 3×2ⁿ + 3)
= 4ⁿ - 4 - 6×(2ⁿ-2) - 4×(3ⁿ - 3×2ⁿ + 3)
= 4ⁿ - 4×3ⁿ + 6×2ⁿ - 4
箱を区別しないので4!で割る
→ (4ⁿ - 4×3ⁿ + 6×2ⁿ - 4)/4!
2️⃣3️⃣4️⃣ を合計します

トトロ

訂正、結果は同じですが
❌️3ⁿ - ₃C₁ - ₃C₁×(2ⁿ-2)
⭕️3ⁿ - ₃C₁ - ₃C₂×(2ⁿ-2)