Question

い、

教えてください

*194 複素数zが, z+
1
2
=2cose を満たすとき, 次の問いに答えよ。
(1) zを0を用いて表せ。
(2) nが自然数のとき, z”+
1
n
=2cosnであることを示せ。

Answer 1

Kau

(1)zにの二次方程式の形にして、解の公式でz=の形にし、ルートの中身をisinθと変形すると、z=cosθ+-isinθとなる。
(2)(1)でといた式を利用し、zの絶対値は1だとわかるのでz（zBar）=1とわかり、両辺をzBarでわると、1/z=cosθ-+isinθとなる。
そうすると、ド・モアブルの定理により、(z)^n=(cosθ+-isinθ)^n=(cosnθ+-isinnθ) (1/z)^n=(cosθ-+isinθ)^n=(cosnθ-+isinnθ)となり、二式を足し算すると、証明できる。