Question

おもち

(1)は頂点が負であることを考えても解けると思うのですが、この頂点のy座標が−(k+1)(k−4)であることと、判別式の解が(k+1)(k−4)であることは何か関係がありますか？

これらの
例題9 2次方程式の解の配置>一
f(x)=22-2(k-1)+k+5とする。 y=f(x)のグラフを考えることにより、
2次方程式 f(x)=0が次のような解をもつためのkの条件を求めなさい。
(1) 異なる2つの実数解をもつ
(2) 正の解と負の解をもつ

Answer 1

長飛丸とら

異なる2点なので
頂点のy座標が負　⇒　- (k + 1)(k-4)＜ 0　⇒　(k + 1)(k-4)＞ 0

判別式　D ＞0 ⇒ 　(k + 1)(k-4)＞ 0

つまり、判別式とは頂点のy座標のことだと思ったらいいです
なので、なんでもかんでも判別式で解こうとせず、
平方完成で頂点を出しているなら、そのまま頂点で処理するほうが楽です

長飛丸とら

良いところに気づいたと思いますよ

Answer 2

🍇こつぶ🐡

大いに関係があります。

2次関数 f(x) ＝ax^2 + bx + cにおいて、頂点の y 座標は常に -D/4a になる(a＞0の場合)。

だから、頂点のy座標＝➖(k+1)(k−4)＜0は、
判別式D＝D/4＝➕(k+1)(k−4)＞0……異なる2実数解
上の判別式と頂点の計算は、左辺が➕、➖で異なる符号だが、右辺の不等号が反対向き(＞と＜)だから、左辺を➕にすると同じ不等式となるため、そのような関係になっている🙇