Question

えだまめ

緑で線を引いたところがなぜこうなるのかわからないので解説お願いしますT_T

題 172 三角関数を含む方程式の解の個数 〔1〕 ★★★
D
の方程式 cos20+2cos0-1-k=0(0≦0<2) ... ① が異なる2つの
解をもつとき, 定数kの値の範囲を求めよ。
思考プロセス
方程式 ① (0≦2)
を満たすが2つ
COS0 = t とおく
2t2+2t-2=k-1≦t≦1)
を満たすはいくつか?
対応を考える
単純に2つではない。
0の対応を考えると
(ア) A
(ア) 1<t<1である1つの
1
-2個
対して, 0は2つ対応
ぐ
020) (1) t=-1| y
1個
It=1
1個
(イ) t = ±1 である1つの
1x
3
対して, 0は1つ対応
章
10
|加法定理
Action » 方程式を満たす0の個数は、三角関数の値と角の個数の対応に注意せよ
(2cos20-1)+2cos0-1-k=0
方程式 ① は
列題
157
よって
2cos20+ 2cos-2=k
t = cos とおくと
2t2+2t-2 = k
②
友
角の公式を用いて,
方程式 ① を t = cose の
2次方程式に直す。
002
より-1≦t≦1であり, t = cost を満たす
01<t<1のとき2個, t=±1 のとき1個存在する。t<-1, 1<t のとき
ここで,f(t)=2t2 +2t-2 とおくと、②の実数解は,
y=f(t)のグラフと直線 y=kの共有点のt座標である。
よって、方程式 ① が 0≦0 <2πの範囲に異なる2つの解
をもつのは,y=f(t) のグラフと直線 y=kが,
-1<t<1においてただ1つの共 Is
t = cos を満たす 0 は存
在しない。
f(-1)=f(1) より,②
が t = -1 と t = 1 を同
時に解にもつことはない。
343
有点をもつときである
この場合
y=f(t) 21
2
15
f(t) = 2t+
ly=k
2
2
1
ゆえに,y=f(t)のグラフは右の
図のようになるから、求めるんの
2
I
10
1
t
するから、炒める
値の範囲は
k =
について
2/2013*.010)
5
==
2'
-2<k<2
とき
は存在しない。

三角関数