Question

絶対合格

(2)って、3次式を２次式で割ると余りが１次式になり、R＝cx➕dとおけますが、商も必ず１次式となりc x➕dとおけるのですか？これは必然ですか？😢

(2)xの整式ペーx+ax+bが整式x'+x+1で割り切れて,商がxの整式 Qで
あるという。このとき,定数a, 6の値とQ を求めよ。
[(2) 類 京都産大)

2)2次式x2+x+1で割ったときの商をQ=cx+d とすると,
x3-x2+ax+b=(x2+x+1)(cx+d)
はxについての恒等式である。
右辺を展開して整理すると
x3-x2+ax+b=cx3+(c+d)x2+(c+d)x+d
両辺の同じ次数の項の係数は等しいから
←割り算の等式
A=BQ+R
割り切れるR=0
←xについて整理。
←係数比較法。
1=c, -1=c+d, a=c+d, b=d
この連立方程式を解いて
a=-1,6=-2,c=1, d=-2
したがって
a=-1,b=-2; Q=x-2
解 x-x2+ax+bをx2+x+1で割った
ときの商と余りは,右の計算により
x-2
x2+x+1)xx2+
ax+b
x3+x2+
x
商x-2. 余り (a+1)x+6+2
-2x2+(a-1)x+b
余りが0になるとき, (a+1)x+b+2=0がxにつ
a+1=0.6+2=0
いての恒等式であるから
-2x2
-2x-2
(a+1)x+b+
よって
α=-1,6=-2;Q=x-2
bcの値を定めよ。

Answer 1

Yoshimarukun

2次式で割った余は1次式ではありません。
1次式"以下"です。ここをぼかして覚えていると問題が解けなくなることがあります。

また、
余りを
R(x)=cx+d(c,dは実数)
とおいたとき、商は
Q(x)=ax+b(a≠0,a,bは実数)
と置かなければなりません。
R(x)もQ(x)もcx+dに勝手に固定してはいけません。
独立した文字を使ってください。

絶対合格

つまり、この問題では3次式を２次式で割ると余りと商は1次式以下になると言う事ですか？

Yoshimarukun

3次=2次×商【1次】+余【1次以下】
もし商【1次】が定数ならば、右辺の字数は左辺より低くなります。
また、商【1次】が2次以上になってしまっても、左辺と次数が合いません。

さらに、余【1次以下】がもし2次になれば、さらにその余りは2次式で割ることができるため、結果余【1次以下】です。

13=2・3+7
7=2・3+1とできるので
12=2・3+(2・3+1)=2(3+3)+1=2・6+1
のようになるのと似ています。