Question

伊莎貝拉

這題要怎麼算？

例 4
已知一衛星繞行星表面運行,周期為T,速率為ⅴ,引力常數為G。則行星質量和下列何項成正比?
(A) GT²
V
v³ T
G
G
(B) © V²T (1)
(ID) VIT (E)
GT
G²
請用因次分析方法求出答案。
欢园业

Answer 1

✨ Best Answer ✨

qn

T 的因次是時間 T
v是距離除以時間，因次是 LT⁻¹

G 參考萬有引力公式
F = GMm/r²
⇒ G = Fr²/Mm
其中由於 F = ma 可知 F 的因次是 MLT⁻²
所以 G 的因次 (MLT⁻²)(L)²/(M)² = M⁻¹L³T⁻²

假設質量正比於 TˣvʸGᶻ
它的因次是 (T)ˣ(LT⁻¹)ʸ(M⁻¹L³T⁻²)ᶻ = M⁻ᶻ Lʸ⁺³ᶻ Tˣ⁻ʸ⁻²ᶻ
這個因次又應該是 M
所以
{ -z = 1
{ y+3z = 0
{ x-y-2z = 0

解方程組得到
{ x = 1
{ y = 3
{ z = -1

所以是 Tv³/G

伊莎貝拉

這兩行為什麼會是這樣？

qn

把上面推的各自的因次代入

伊莎貝拉

為什麼要假設質量正比於⋯那樣？

qn

M 是 T, v, G 的某個函數
但不同因次的量不能加減，只能乘除
(比如距離和時間加減沒有實際意義)
更一般地說
可以先取某個次方再相乘
例如動能 K = ½mv²

所以可以假設三個量分別取未知次方再相乘

伊莎貝拉

了解！謝謝～