問題多すぎでは？基本的な問題も見られますし、一度ご自身で解いた上で分からない箇所をしぼって質問することを勧めます
了解です。今ちょっと出先なので後ほど回答しますね
助かります。ありがとうございます！
すみません。後ほどとか言ってすっかり忘れてましたね
1.
とりあえず単射性、全射性を復習すると
fが単射 ⇔ f(a)=f(b)(a≠b) なるa,bが取れない
fが全射 ⇔ fの像(=f(A))がBに一致する
これを基に考えていきます
分かりやすい(3)からやります
(3)例えば
A=[0,π/2], B=[0,1]
とすると全単射です。グラフが単調減少になるのでxとf(x)が一対一に対応しますよね
(1) (3)の答えからBを広げれば作れます。例として
A=[0,π/2], B=ℝ
とすれば単射ですが全射でないです。
cosx=-1
となるxは[0,π/2]の範囲にはないですよね
(2) (3)の答えからAをうまく広げれば作れます。例として
A=ℝ, B=[-1,1]
とすれば全射ですが単射でないです。
cos(-π/2)=cos(π/2)=1
なので行き先がかぶってしまいますね
(4) (3)の答えからAもBも広げればいいです
A=B=ℝ
とすれば単射でも全射でもありません
5.
Un から ℤ /nℤ への同型写像を構成することもできるのですが、剰余群上の写像だとwell-defined性の確認など意外と面倒なので、ここでは準同型定理を利用します
f : ℤ → Un を
f(x)＝e^(2πix/n)
により定める
このとき、
・fが準同型であること
・fは全射
・Ker(f)=nℤ
を示せば準同型定理より
ℤ /nℤ ≃ Un
が示せます
これってBも［0,1/2］じゃないんですかね…？
すべて[0,1/2]を含むようにとってますよ
自分でも整理して考えてみます
本当にありがとうございます！
2.3.4は解けたので1.5月分かれば教えていただきたいです