Question

ゲスト

教えて欲しいです！
Aはn次元ユークリッド空間である。
Aの部分集合でAの任意の点列が収束する部分列をもつとする。
このときAは有界集合であることを示せ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

gößt

背理法でいいかと思います

Aが有界集合でないと仮定すると、a∈Aを適当にとるとき
∀M>0, ∃b∈A s.t. d(a,b)>M
(dは距離関数です)
ですから、各自然数nに対して
d(a, b_n)>n
を満たすb_n∈Aを(選択公理により)とってこれます

このとき、もし{b_n}に収束部分列が存在すれば
|d(a, b_m)-d(a, b_n)|≦d(b_m, b_n)
より {d(a, b_n)}も収束部分列をもつはずですが、{d(a, b_n)}の任意の収束部分列は+∞に発散するため{b_n}は収束部分列をもたないです

ゲスト

選択公理を用いるんですね…。
勉強になりました、ありがとうございます！