✨ Best Answer ✨
AB=ACなので二等辺三角形です. これが問題を解く大きな鍵となっています.
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AからBCへ降ろした垂線の足をHとするとBH=CH=BC/2です.
また三平方の定理から
AH=√(AB^2-BH^2)=√{AB^2-(BC/2)^2}=√(9^2-3^2)=3√(3^2-1)=6√2
重心GはAHを2:1に内分する位置にある[ACの中点とHを結び, 向かい合う三角形の相似から証明]のでAG=(2/3)*6√2=4√2
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内心Iは角の2等分線の交点です. 二等辺三角形の場合, 線分AH上に内心Iがあります.
三角形ABHに注目すると, 角の二等分線の性質からAB:BH=AI:IH⇔AB:(AB+BH)=AI:(AI+IH)=AI:AHが成り立ちます.
9:(9+3)=AI:6√2⇔AI=(9*6√2)/12=9√2/2
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外心Oは垂直二等分線の交点です. したがって外心Oは線分AH上にあります.
ABの中心をDとして三角形AODと三角形ABHを見ると相似であることが分かります. △AOD∽△ABH
したがってAO:AD=AB:AH⇔AO:(AB/2)=AB:AH⇔AO={(9/2)*9}/(6√2)=27√2/8
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中学で学んだ平面幾何の知識は高校になってからも必要です.
忘れている場合は昔の参考書を取り出して復習した方がいいでしょう. センター試験でも問われますよ.
ありがとうございます