✨ Best Answer ✨
①から順番に解いていくことにしましょう.
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①y=ax^2上に点A(-2,4)があるから, 4=a*(-2)^2⇔a=1.
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②直線mは点A(-2,4)を通るので直線の式は傾きをpとするとy=p(x-(-2))+4⇔y=px+2(p+2)と書ける.
また点A, Bはy=x^2上にあり, また直線m上にあるので, 交点のx座標を求める方程式は
x^2=px+2(p+2)⇔x^2-px-2(p+2)=0⇔(x+2)(x-(p+2))=0⇔x=-2, p+2.[もう一方の解は点A]
したがって点Bの座標は(p+2, (p+2)^2).
また点Cは直線mのx切片なので0=px+2(p+2)⇔x=-2(p+2)/p=-2-(4/p). すなわち点Cの座標は(-2-(4/p),0).
AB:BC=3:1⇔AB:AC=3:4ならば
{(p+2)-(-2)}:{-2-(4/p)-(-2)}=3:(3+1)⇔-12/p=4(p+4)⇔p^2+4p+3=0⇔(p+3)(p+1)=0⇔p=-1, -3
ここでp=-3のときp+2<0なので点Bは第1象限にないので不適である.
以上からp=-1と決まり, B(1,1), C(2,0)である.
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③Oから直線mに下した垂線の足をHとする. △OABと△OBCは共通の高さOHをもつ. 底辺の比はAB:BCに等しいから
△OABの面積は△OBCの面積の3倍である.
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[補足]
原点O, 点P(a,b), 点Q(c,d)を頂点とする三角形の面積は(1/2)*|ad-bc|で求められます.
具体的に求めると△OAB=(1/2)*|(-2)*1-4*1|=3, △OBC=(1/2)*|1*0-1*2|=1で確かに3倍です.
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②が難所でした. Aも交点なのでx+2が因数になるはずと見極められれば, 計算は楽になったはずです.
おそらくその決意が出来なかったから手が止まったのではないかと推察します.
丁寧にありがとうございます\(﹡ˆOˆ﹡)/
なるほど②も図形的に解けるんですね. こちらの方がはるかにいい解答です.
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②点A, 点Bからx軸へ下した垂線の足をI, Jとすると, △ACI∽△BCJがいえる.
したがってAI:BJ=AC:BC=(AB+BC):BC=4:1なので点Bのy座標は4*(1/4)=1である.
第1象限にある点Bはy=x^2上にあるのでB(1,1).
またCI:CJ=4:1なので点Cのx座標をpとすると(p+2):(p-1)=4:1⇔4(p-1)=p+2⇔3p=6⇔p=2
したがってC(2,0)である.