Question

はやかゆなたき

解答お願いします！！

人 ヵは整数とする。次の命題を証明せよ。
ゲ が3の倍数ならば, ヵは3 の倍数である。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

Euro step

この命題の対偶をとると、nが3の倍数でないならば、n^2は3の倍数でないとなる。これを証明すればよい。

mを整数として、3の倍数でないnは次のように表現できる。

n=3m+1, 3m+2

これを2乗して

n^2=9m^2 + 6m + 1, 9m^2 + 12 + 4

となるが、これは3の倍数になり得ない。なぜなら次のように変形できるからである。

n^2=3(3m^2+2m)+1, 3(m^2+4m+1)+1 ... (*)

3m^2+2m, 3m^2+4m+1は整数同士の和と積で書けるのでやはり整数値をとる。そこでわかりやすくするためにそれぞれk, ℓと書くと(*)式は

n^2=3k+1, 3ℓ+1

となる。これは3で割れない。
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はやかゆなたき

とてもわかりやすかったです！！
ありがとうございます！！