✨ Best Answer ✨
部分積分で大丈夫です！
ただ、logの係数と真数が一致してないために少し工夫が要ります。
どういう工夫か。
真数のところはそう簡単に変形できないので、係数を合わせに行きます。
勝手に足したものは後で引いて置けばいいという姿勢で、
xlog(x+1)＝(x+1)log(x+1)－log(x+1)という変形をすると出来ると思います。
考え方気になりますよね。自分も最初から先生にこうやれと言われたので解法を知ってたのはありますが、次のような考え方になると思います。
いつものようにn次関数×対数関数だから部分積分だと考えるけど、このままだとよく分からなさそうですよね。そこで、n次関数×対数関数の時には何故部分積分を使うかを考えます。そうすると、対数関数を微分すると結局xのn次式の真数が分母に来るから、部分積分で対数関数を微分の対象、n次関数を積分と対象とすれば結局約分できたりして、積分するところはn次関数になるから計算になるということでそのように計算しているとわかります。なので、これと同じように部分積分をしようとするなら、結局対数関数を微分して真数が分母にきて、それがn次関数の積分と約分できることがポイントであることに気がつきます。
そう考えると、n次関数のところは対数関数の真数で割り切れて欲しいと考えます。なので、n次関数の積分が対数関数の真数で割り切れるように変形できないかなと考えます(計算を楽にするために勝手に何かを足し、あとからその分を引けば問題はないよねという姿勢で)。そこで、今回のn次関数は一次式なので、その一次式を塊として積分することができるということに注目します。よって、n次関数の式が対数関数の真数で割り切れれば問題ないなとわかります。では、どっちでそれえればいいのか。対数関数は真数の和で分解することは出来ないから真数を変形して揃えにいくことは無理だとわかります。なので、n次関数の方で足し引きして変形しようとなります。ということでn次関数のxを勝手にx+1と変形し、その+1のところをあとから引いてあげればいいのではないかとなります。そして式を見てみると、このまま積分できることに気がつくわけです。
くそ長くなって申し訳ないです。結局数学は、どういう未来を見て解こうているのかを考えることが重要になってくると思います。
なるほどなるほど！
いつも、頭いい人はどうやって考えてこんな問題の答えを導いているんだろうと思っていましたが、手順が見えたような気がします！（完全に理解するのに5分くらい時間かかりましたw) その方法の本質を考えているんですね！
自分の素朴な疑問に丁寧に答えてくださって本当に感謝しています。受験生なのにこんな僕に答えてくださってありがとうのざいます！
xlog(x+1)＝(x+1)log(x+1)－log(x+1)に変形するとありましたが、(x+1)log(x+1)を部分積分でやるということですか？
どういたしまして！
理解に時間が少しかかったのはおそろくこっちの説明に問題があるので大丈夫ですよw
数学は、難しい問題はこのように本質を考えて論理的に解く感じになると思います！結局は習った(教科書の)知識をいかに理解して扱えているのかがポイントになって来るということです。レベルの高いクラスで数学を教えている先生はよく教科書をちゃんと理解するように言うほどです。自分も論理的に考える能力はまだまだなので最近それを塾で鍛えられているところですw
お互い頑張っていきましょう！
(x+1)log(x+1)で部分積分です！これなら綺麗に出来ると思います！大丈夫だとは思いますが－log(x+1)は普通に積分するって形ですね
なるほど！そんな手があったんですね！
ありがとうございます。
どうやったらそういう考え方になるんですか？