Question

1771

(2)で、ax^2+bx+c>0を満たすためにx<pを満たす
必要がある理由がよくわからず、教えていただきたいです。

IとJは、問題文の２つの集合を表しています。

あの かを実数とする。
C%“十6テ十>0 をすべて満た
が一致しているとすぇ。

前謗はすべて 0上でうこょと
2) 2, ら とのうち少なくとゃ
0000であのでとます、

不等式 @“十のを十と>0). のナオcr十Z>0)
す実数の集合と. ィン>カ を満たす実数をの集合

示せ。
個は0 でぁること を示せ。

(20 東京大・理系

② 6, の cがすべて正であると仮定ずる5

2>0 から, ッテg*2十の*十c のグラフラはドドに西の
妥 が二分大きいィに対して, 2z2上のァ二c> 0とな2
同欄にして, <ヵ を満たし, かつ|広| おまき

c々2ナタ十の>0 となる』

ゆえに, 7テニ/であるに と 2店語悦9
よって, 2 の cのうち少なKK二6生導四
これと ⑰.20ら2の還28②有5

Answer 1

✨ Best Answer ✨

鹿

ax²+bx+c>0 -① (a>0) で考えます
題意から「x>p つまりpより大きいx”だけ”で①は成り立つ」と言っています
しかし各係数やpに制限がない以上、どんなグラフであれ2次関数は下に凸ですからx<pでかつ十分小さいxでもax²+bx+cの値は正になります
ここで上記の「〜」の部分は矛盾しています

1771

このときa>0のみ定めていて、
pによらず、bとcの値によっては①が成り立つことがある。ということですか？

鹿

成り立つことがある、というより式を成り立たせているxの集合(解答ではIになっているかと思います)のみの元で考えています
このx(∈I)がx>pを満たしていて、そのとき①が成り立つと言っているのが問題文です

1771

b,cによって、①を満たすようなx<pのxが存在してしまうところに矛盾が生じるという理解は間違っているということでしょうか？
すみません…

鹿

もちろんそうなのですが、そこまで小難しいことではないです
単純に下に凸の2次関数のグラフの形を考えたときに、「x>p のときだけに関数がプラスになる」という主張は間違いで「x>pを満たす十分大きいxでも、x<pを満たす十分小さいxでも、どちらでも2次関数はプラスになる。だから片方(x>p)でしか成り立たないのはおかしい」というのが解答の言っていることです

1771

なるほど。しつこくすみませんでした。やっとわかりました。ありがとうございました！