解き始めから分かりません。
✨ Best Answer ✨
｢16(偶数)で割り切れるような｣とあるため、まずは偶奇で分けることから考えましょう
まず式を整理して
f=(m+1)n^2+am^2+8
mが奇数の場合、
・(m+1)n^2は偶数
・am^2は奇数
となり右辺全体の和は奇数(偶数+奇数+偶数)となるため16で割り切れることはありません
つまり割り切るためにはmが偶数である必要があり、このとき(m+1)n^2も偶数にならなければいけないため、nも偶数でなければならないことが分かります
よってm=2x,n=2y(x,yは整数)とおいて考えていきます
導入としてはこんなものでよろしいでしょうか
出てきた式を4で括ることができるのは分かるでしょうか。
4で括ったその中身が更に4で割ることか出来れば、結果として16で割れるということになります。
4で割り切るためにはxとyの偶奇がどうなればよいか、というのを同様に考えてみてください
すでに解決していますが, 役に立つところもあると思うので回答したいと思います.
16=2^4で割り切れる. これは少なくとも2で4回割り切れると考えることが出来ます.
あとはf(m, n)が2乗を含むことに着目して簡単にする方法も考えます.
***
まずf(m, n)=(m+1)n^2+am^2+8とも書けます.
ここで2を法とした剰余類を考えると, aは奇数なのでa≡1[(mod 2)は以下省きます.]です.
m≡0ならばf(m, n)≡n^2で条件を満たすためにはn≡0であればよいわけです.
m≡1ならばf(m, n)≡1なので条件を満たせません. 以上からmとnは少なくとも偶数です.
m=2m', n=2n'と書くと, f(m', n')=4{(2m'+1)n'^2+am'^2+2}
f(m', n')が8で割り切れるためにはam'^2+n'^2≡0 (mod 2)が必要です[2m'n'^2+2は偶数です].
これを満たすようなm', n'は2を法として, m'≡0, n'≡0あるいはm'≡1, n'≡1に限られます.
前者の場合は適当な整数m'', n''を用いてm=4m'', n=4n''と書けます. このとき
f(m'', n'')=16(4m''n''^2+am''^2+n''^2)+8となるので16では割り切れません.
後者の場合は適当な整数m'', n''を用いてm=2(2m''+1), n=2(2m''+1)と書けます.
このとき定数項以外は明らかに16の倍数になります. すなわち
f(m'', n'')=8(2m''+1)(2n''+1)^2+4a(2m''+1)^2+4(2n''+1)^2+8
=16N+4(a+1). 但しNは残りの項です.
したがってf(m, n)が16で割り切れることと(a+1)が4で割り切れることは同値です.
以上から求めるべきaの条件は, aを4で割ったとき3余るような整数, ということになります.
こういう解き方もあるんですね。参考になります。わざわざありがとうございます！
この解答から学んでほしいことは
①余りの情報のみを知りたいときは, 合同式が強力な武器になる[ガウス曰く凡人でも難しい計算が出来るようになった].
②商の情報も欲しいときは合同式ではダメで, 具体的に式を書いて評価する[ために元の式に代入した].
③a^pで割り切れてa^(p+1)で割り切れない整数はaでp回割り切れるが, p+1回割り切れない整数である[これはモノの見方. 京大はよく聞きます].
時間があれば, テーマが同じ今年の京大・理系の問題にチャレンジするといいでしょう[おそらく作題者は同じ先生です].
aの条件の表し方は文字というか、実際に5+aを4で割ってみるとどうなるかを考えるといいと思います。
表記を変えると4+1+aとなるため、a+1が4で割り切れればよい、つまりaは4で割って3余る(残りの1と合わせて4になる)数、というのが条件になります
夜遅くに最後まで丁寧にありがとうございました。助かりました。
お力になれたなら幸いです
遅くまで勉強お疲れ様です
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ほぼ写しただけで申し訳ないですが、ここまでできました。ここからどうすればいいでしょうか？