この問題、（2）.（3）は同じような考え方で解いたのですが、2は間違っていて3はあっているのです。何が違うのでしょうか？

A SUCCESSの7文字を1列に並べる (1)異なべ方~ 7! (2)UEがこの順にある金べ方 1まとまり 76544420 NEST 2. 654941 6! 3!2! 60通り (3)、2つのが隣り合わない並べ方 COD DODO D D D D D 6! ¥5434 みまとまり 120通り(りより400-120 3! 300 201

(1)でyの値域を調べているのは何故ですか？ この値域と逆関数の定義域が一致することを確かめるためですか？それだけなら値域を書かなくてもいい気がします

重要 例題 158 逆関数と積分の等式 ex (1)f(x)= y=f(x)の逆関数y=g(x) を求めよ。 ex+1 (2)(1) f(x),g(x)に対し,次の等式が成り立つことを示せ。 00000 Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af(a) f(a) [東北大 ] /P.262 基本事項 1, 基本 10 指針 (1) 関数y=f(x)の逆関数を求めるには,y=f(x) をxについて解き, xとyを交換 する。 (p.25 基本例題 10 参照。) (2)(1)の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)=x=g(y) を利用。 すなわち y=g(x)⇔x=f(y) に注目して, 置換積分法により,左辺の第 (f(b) 2項 Sing(x)dx を変形することを考える。 (1) y= ex+1 解答 ①から (ex+1)y=ex ゆえに ①の値域は 0<y < 1 (+) (1-y)ex=y xについて解く。 (1+x) (x)=(xx) ・②+y まず, 値域を調べておく。 ②から ex = 1-y y よって x=log ex=A⇔x=logA 1-y as (1) 求める逆関数は,xとy を入れ替えてg(x)=log XC 定義域は 0<x<1 1-x f (b) (2)ISg(x)dx とする。 YA f(b) T 1 f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) より ゆえに x=f(y) f(a) 12 S また dx=f'(y)dy g(f(a))=a,g(f(b))=b 0 a b x (1 x f(a) →f(b) xとyの対応は右のようになる。 y a → b よって ゆえに 参考 (2) の結果は,f(x)= f(x) It is am v=fys (y)dy=[ys (3)]-fs(v)dy a =bf(b)-af(a)-Sof(x)dx Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af(a) ex 20306-10 15 ex+1でなくても,一般に, 関数f(x)の逆関数が存在して s=Sof(x)dx, TSg(x)dx (2) の等式の左辺の積分 は、上の図のように表さ れる。 (0<a<bのとき)

分かりやすく解説お願いします

練習問題 9 放物線y=9m2 と軸とで囲まれた部分 に,図のように長方形 PQRS が辺 PSがx 軸上にあるように内接している. YA 9 y=9-x² 点Pのx座標をtとし,この長方形の周の 長さを1(t) とする. R (1) tのとり得る値の範囲を求めよ. (2) (t) をt の式で表せ. (3) 1(t) の最大値を求めよ. SO P

採点お願いします🙇

練41 (2)長方形ABCDと同じ平面上の任意の点をとする。このとき、等式 PA2+PC=TB+PDが成り立つことを証明せよ。 一般に点Qの座標を、(つみ)と表すことにするべ PA² = (p-2)² + (y p-21)²... PA(スカーフ)+1 Pl²=(xp-x)+(-4)²... PB2=(スカーズ(B)2+(y-yB)…③ PD'=(スカープロ)+(みみ)) ここで、①②の、つしA,YA,xc,Hをそれぞれど ¥8,210,yにおき換えると、 ③、④の式が得られる。 よって、PA2=PB2,PC2-PDであるから、 PA2+PC2=PB2+PD 2 H

数2の不等式の証明です！ 等号が成り立つ証明のときに画像のように（）の中＝0のようにするのですか？ また不等式の証明で最初に両辺の差を求めるのはなぜですか？

この問題なのですが、最小値と最大値を分けて考えるというプロセスではダメなのでしょうか？ダメならば理由も含め教えて頂きたいです。お願いします🙇

94 数学Ⅱ 第5章 研究例題66 定義域に文字を含む関数の最大値と最小値 関数 f(x) =x-3x+1 の 0≦x≦a における最大値と最小値を求めよ。た だし, α>0 とする。 解 f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1) 値, f(0), f(a) に注目し, αの値によって場合分けをして考える。 f'(x) =0 とすると, x=±1 f(x)の増減表は,次のようになる。 -1 1 x f'(x) + 0 0 + f(x) 7 3 -1 7 f(0)=1より,f(x)=1 とすると, x-3x+1=1, x-3x=0 x(x+√3)(x-√3) = 0, (i) 0<a<1 のとき, x=0 で最大値f(0) =1 x=0, ±√3 x=αで最小値 f(a)=α-3a+1 (ii) 1≦a<√3 のとき, x=0で最大値f(0)=1 x=1で最小値 f(1)=-1 (Ⅲ) α=√3 のとき, x=0, √3 で最大値f(0)=f(√3)=1 x=1で最小値 f (1)=-1 (iv) α > √3 のとき, x=αで最大値 f(a)=a-3a+1 x=1で最小値 f(1)=-1 (i) YA (i) Oali fla) 3 la x √3 XC y_y=f(x)| √3x (iv) y \f(a) -1- √3 a 13

解説のマーカーが引いてあるところでどちらもX＝1なのに最大値と最小値で違う値をとるのはなぜですか？

(2)が分かりません。解説の文章の意味も分かりません。どなたか丁寧に解説お願いします🙏

解答 246 基本 例題 153 点の回転 π 00000 点P(3,1)を,点A(1, 4) を中心としてだけ回転させた点をQとする。 π (1) 点Aが原点 0 に移るような平行移動により、点Pが点P' に移るとする。 点P'を原点Oを中心としてだけ回転させた点 Q' の座標を求めよ。 (2) 点Qの座標を求めよ。 3 指針点P (x0,yo)を,原点 0 を中心として0だけ回転させた点を Q(x, y) とする。 OP=rとし,動径 OP と x軸の正の向きとのなす角をと すると X=rcosa, y=rsina OQ=rで,動径 OQ とx軸の正の向きとのなす角を考える と、加法定理により x=rcos(a+b)=rcosacoso-rsinasino =xocoso-yosino y=rsin(α+0)=rsinacos0+rcosasino =yocos0+xo sino 0 0 P.241 基本事項 Q(rcos(a+0), sin(a+6)) P (rcosa, rsing この問題では、回転の中心が原点ではないから,上のことを直接使うわけにはいかな (1) 点Aが原点 0 に移るような平行移動により, 点Pは点 | x軸方向に1, y 軸 い。 3点P, A, Q を 回転の中心である点A が原点に移るように平行移動して考える。 P' (2,3) に移る。次に,点 Q' の座標を (x', y') とする。 また,OP'=とし,動径 OP′ と x 軸の正の向きとのなす 2=rcosa, -3=rsina すると 方向に -4 だけ平行移 動する。 25 カ 基本事項 2 2倍角の公 半角の公 3倍角の 解説 ■2倍角の公 三角関数の sin(a+a) cos(a+a) *t, cos 更に 角を よってx=rcos(a+1/27)= =rcosacOS 3 g-rsinasin π 3 い。 =2.2-(-3). √3 2+3√3 2 2 π YA y=rsin(u+/4/5)=rsinacos / trcosasin / =rsinacostrcosasin 4 を計算する必要はな ■半角の 2倍角の == +2. √3 2√3-3 387 ゆえ 2 2 1メー したがって, 点 Q' の座標は (2+3√3 23-3 JQ それぞ 0 2/3 公式か (2) Q',原点が点Aに移るような平行移動によって, 点Qに移るから,点Qの座標は π ■3倍 P (2+33 +1,2√3-3+4) から (4+3/32/3+5) | 練習 ③ 153 (1) P(-2,3),原点を中心として 5 πだけ回転させた点 Qの座標を求めよ。 (2)点P(3,-1)を,点A(-1, 2)を中心として一匹だけ回転させた点Qの進 titti t fit

サ、シ、の変形なのですが、解説見ても次この変形が来ても解ける気がしなくてどういうふうに考えたら解けるか教えてほしいです。

第4問~第7問は、いずれか3問を選択し、解答しなさい。 学Ⅱ 第7問 (選択問題(配点 16) 太郎さんと花子さんは, 右の図のような公園で行われる宝 探しゲームに参加している。 公園には、入り口から入って左 前方に街灯(以下, 点A), 右前方に水飲み場 (以下, 点B) がある。 点Bは点Aから真東に6m進んだ地点にある。 S 入り口 宝探しゲームは、宝が隠された場所についてのヒントをもとに隠された宝を見つ けるものである。 以下, 複素数の偏角は0以上27未満とする。 (太郎さんは任意のスタート地点Sについて同様の考察を行うことにした。すな わち, スタート地点S(0) を原点とする複素数平面で. A(a),B(B) とし,東を実 軸正方向北を虚軸の正の方向で、複素数は原点から東に1m進んだ地点 にあるものを考えた。 2点CD を表す複素数をそれぞれ1.6 とすると r₁ = a+ ケai, β- コ であるから, 点Eを表す複素数について Bi A 夢にな 110 a+β 2 サ シ B- a+B 2 が成り立つ。このことは, 点Eが ス 地点にあることを表している。 -- (1) 第一の宝が隠された場所についてのヒントは次の通りである ・第一の宝のヒント • 公園内のある地点Sをスタート地点とする。 ●点Sから点Aに直進し,点で左回りにだけ向きを変え、その後 2SA だけ直進した点をCとする。 点Sから点Bに直進し,点Bで右回りにだけ向きを変え,その後 2SB だけ直進した点をDとする。 ● 線分 CD の中点Eに宝を隠した。 シ の解答群 cosO+isin0 ② COS → +isin COSπ+isinπ ⑥ COS +isin T MP ス の解答群 ① COS ③ COS ⑤ COS D COS sisin 4 24345474 π+isin T π+isin π 44 ―π nisin 7/1 (1) まず太郎さんと花子さんはスタート地点Sを. 仮に点Aから南に6m進んだ 地点と定めて考えることにした。 S(0) 原点, A(6i) とし,東を実軸の正の方向,北を虚軸の正の方向とする複 素数平面を考える。 r8 このとき2点C,Dを表す複素数をそれぞれ とすると b 18 = アイウ + I |i. 6=h キ であるから, 点Eを表す複素数は ク である。 点Aから西に3m進んだ ① 点Bから東に3m進んだ 線分ABの中点から北に6m進んだ ③ 線分ABの中点から南に6m進んだ スタート地点Sから東に3m進んだ ⑤スタート地点Sから西に3m進んだ (数学II. 数学 B. 数学 C 第7問は次ページに続く。) (数学II. 数学 B. 数学C 第7間は次ページに続く。) 26- ①-27-

⑵から分かりません教えて下さい！

αを定数として, 2次関数f(x)=-4ax +3a+1がある。 (1) 座標平面において, 放物線y=f(x) の頂点の座標は ア a, - イ a² + ウ a+ I であり, 頂点が直線 カ y=3x上にあるとき,a=- オ である。 α=- オ のとき, キ 関数f(x)の-3≦x≦1 における最大値と最小値の和は - ク である。 (2) 座標平面において, 放物線y=f(x) がx軸と異なる2点で交わるようなαの他 ケ の範囲は α- サ | <a である。 また, 放物線y=f(x) が 1<x<3の範囲でx軸と異なる2点で交わるようなαの値の範囲は セ シ <a< である。 ソ (3) 関数f(x) -1≦x≦2 における最大値を M, 最小値を とする。 タ (i) M=f(-1) となるようなαの値の範囲は ・Sa である。 チ ツ ト (ii) | M | = 6 となるようなαの値は である。 テ ナ また, a <- -1/2 のとき,M|-|m|=3となるようなaの値の範囲は a≤- である。 (iii)M-m= 6 となるようなαの値は ハ +. ヒ である。 フ ヌ ネ ノ