なぜ外接円の中心といえるのでしょうか、？

221 OO を 面積 141 *C 基本 例題 138 正四面体の高さと体積 1辺の長さがαである正四面体 ABCD がある。 (1)この正四面体の高さをαの式で表せ。 (2)この正四面体の体積をαの式で表せ。 CHART I & THINKING 空間図形の問題 平面図形 (三角形) を取り出す 00000 (1)正面 基本 137 重要 139 (1) 頂点Aから底面 BCD に垂線 AH を下ろすと, AH が正四面体の高さとなる。 AHを 求めるために,どの三角形を取り出せばよいだろうか? AB=AC=AD であることに, まず注目しよう。 更に, 点Hは BCD のどのような位置にあるかを考えよう。 (2) 四面体の体積の公式において, (1) で求めた 「高さ」 に加えて何を求めればよいかを判断 しよう。 解答 (1)正四面体の頂点Aから底面BCD に垂線AH を下ろすと, AB=AC=AD であるから よって △ABH=△ACH=△ADH CD BH=CH=DH B4 ゆえに,点Hは BCD の外接円の 中心で、 外接円の半径はBH である。 (1) AABH, AACH, △ADH は, 斜辺の長さ がαの直角三角形でAH は共通辺である。 直角三角形において, 斜 辺と他の1辺が等しいな らば互いに合同である。 よって, BCD において, 正弦定理により 1 a a BH= 2 sin 60" 3 したがって AH-AB-BH2 -√√3a²-16 a (2)△BCDの面積は aasin 60-a Q. よって、 正四面体 ABCD の体積は B 1 13 3 3 4 ABCD AH-1.√√√22a a= 3 CD sin DBC =2R CD=4, <DBC=60° ABHに三平方の定理 を適用。 4章 15 三角形の面積、空間図形への応用 ABCDの面積 12 BDBCsin∠ADBC (四面体の体積 ) -X(底面積)×(高さ) =1/2x RACTICE 138 1辺の長さが3の正四面体 ABCD において, 頂点Aから底面 BCD に垂線 AH を下 ろす。辺AB上に AE=1となる点をとるとき,次のものを求めよ。 100) sin2ABH (2) 四面体 EBCD の体積

(2)についてです。 斜辺cの直角三角形という答え方でも大丈夫ですか、？

208 補充 例題 130 三角形の形状決定 (1)ccos B=bcosC 次の等式を満たす △ABC はどのような形をしているか。 (2) asinA+bsin B=csinC CHART & SOLUTION MO 三角形の辺や角の等式 辺だけの関係に直す (1)は余弦定理, (2) は正弦定理により,条件の式を辺だけの関係に直す。 なお,三角形の形状は,その三角形がただ一通りに定まるように的確に答える。 解答 (1) 余弦定理により, 与えられた等式は c²+a²-b2 a²+b²-c² =b.. 2ca 2ab c²+a2-62_a2+b²-c² よって = 2a 両辺に 2α を掛けて ゆえに b>0,c>0であるから よって, △ABCは 2a A 参考 角だけの と、正弦定理 c=2Rsin C b=2Rsin B これらを与式 理すると tar よって B=( c²+a²-b²=a²+b²-c² 2c2=262 すなわち c=b AB=AC の二等辺三角形 c2=62 B (2) △ABC の外接円の半径をR とすると, 正弦定理により C しかし、いつ うまくいくと Rの断りを うにする。 A sinA=a b C sin B=- sinC=- 2R' 2R' 2R これらを条件の式に代入して a² 62c ++ = 2R 2R 2R 両辺に2R を掛けて a2+b2=c2 よって, △ABCは ∠C=90° の直角三角形 B a C 辺だけの

なぜ教科書の証明の(i)ではAとBの両方にふれているのですか？2枚目のようにAのみについて証明する方法ではダメなのですか？

証明 △ABCにおいて, 頂点Cから辺AB またはその延長上に垂線 CH を下ろす。 (i) A, B がともに鋭角であるとき CH = bsinA BH =c-bcos A (ii) Aが直角または鈍角であるとき CH=bsin (180°-A) A C C (iii) =bsin A BH = c+bcos (180°-A) =c-bcosA Bが直角または鈍角であるとき CH = bsin A a C H B BH=c-bcosA H A a BH=c-bcosA b a BH = bcosA-c いずれの場合も, 直角三角形 BCH に A B おいて, 三平方の定理により α = (bsinA)2+(c-bcosA)2 = b² (sin² A+ cos²A)+c²-2bc cos A =b2+c-2bccos A 同様にして、他の2つの式も得られる。 C B H BH=bcosA- 平方の

赤で書かれたところの式変形を詳しく教えてください。

2) {bin} cs. = 1, lite & 4 公比 初項 4 の等比数列 9 & (R+1) b2+1 - Bbs = lik 1 0. (B+1) B+ - BB 6=1 4 Sn = = 上とするとき、①の辺をSm, buで表すと =1 (has) - £ (64) - £ (左)= 4 (Sne - h.) - Sn + {S. (1) den s bbk Sn + (n+1)+bn $ Sn + - (n+1) la -3 Su S

(3)の別解において、なぜa≧0のときとa=0のときでわけるのですか？

100 Z を表す。 -Cr それぞれ何 練習 34 5桁の整数nにおいて, 万の位, の, 百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ,b,c, de とするとき, 次の条件を満たす nは何個あるか。 (1)a>b>c>d>e (1) 0, 1, 2, (2) a≧b≧c≧dze (3) a+b+c+d+es6 9の10個の数字から異なる5個を選び、大き←a>b>c>>から、 い順にα, b, c, d, e とすると, 条件を満たす整数nが1つ定 α0 となる。 まるから (2) 0, 1, 2, 10C5252 (個) 10個から5個を選ぶ 9 の 10 個の数字から重複を許して5個を選び, のが大きいから 大きい順に a, b, c, d, e とすると, a≧b≧c≧d≧e≧0を満た◯5個と | 9個の順列 a=b=c=d=e= 0 の場合は5桁の整数にならないから, 求め す整数a, b, c,d, e の組を作ることができる。このうち、 る整数nの数は 10H5-1=10+5-1C5-1=14C5-1=2002-1=2001 (個) (3)A=a-1 とおくと, a≧1 であるから また,a=A+1であるから,条件の式は A≥0 を利用して, 14Cs-1と してもよい ←a0 に注意。 αだけ 1以上では扱いにくい から おき換えを行う。 000 =2,6=1, (A+1)+b+c+d+e≦6 意味する。 よって A+b+c+d+e≦5 ここで, f=5-(A+b+c+d+e) とおくと, f≧0 で A+b+c+d+e+f=5 ・・・ ① 求める整数nの個数は, ① を満たす0以上の整数の組 (A, b,c,d,e, f) の個数に等しい。合巣の主 庫 ゆえに、異なる6個のものから5個取る重複組合せの総数を考 ←A+b+c+d+e=k (k=0,1,2,3,4,5) と して考え 5Ho+5Hi +5H2+5H3+5H4+5H5 =4Co+5C1+6C2+,Ca +8C4+9C5 えて 6H5=6+5-1C5=10C5252 (個) 252 (個) でもよい。 ”あって 後から 別解 まず, a≧0として考える。 3 50 3, る。 f=6-(a+b+c+d+e) とおくと, 2018 a+b+c+d+e+f=6 これを満たす0以上の整数の組 (a,b,c,d,e,f)は (T 6H6=66-1C6=11C6=11Cs=462 (個) また, α=0 のとき, 条件の式は (b+c+d+e≦ g=6-(b+c+d+e) とおくと, g≧0でb+c+d+e+g=6 これを満たす0以上の整数の組 (b, c, d, e, g) はJin (T 5H6=5+6-1C6=10C6=10C1=210(個) よって、求める整数nの個数は ←αが0以上の場合から αが0の場合を除く方針。 462-210-252 (1) se

数学の図形問題について質問です。 写真三枚目の問題の答えが90度なのですがどうして90度なのかさっぱり分かりません。 解説には、「90度以外の時は三角形の辺上に点Q、点Rをとることが出来る」と書いてたのですが、90度以上でもQとRはとれるのでは？とも思いました、、、。 ... Read More

問題2 下の図のような鋭角三角形ABC において, 点P,Q,Rがそれぞれ △ABCの 辺BC, CA, AB上 (端点を含む)を動くとき, PQ + QR + RP が最小となるの は,点P,Q,Rがそれぞれどのような位置にあるときか。 ただし, 線分の両端 が一致するとき,その線分の長さは 0 とする。 HAYS ① A jQ B P DI. 鉄三五 0 CS

画像のマーカー部分の式がどこから出てくるのかがわかりません。教えていただきたいです

4 基本 例 22 数列の極限 (5) ･･･ はさみうちの原理 2 nはn≧3の整数とする。 (1) 不等式2">1が成り立つことを,二項定理を用いて示せ。 il n 2 6 (2) lim- この値を求めよ。 n-∞ 2" dat 指針 (1) 2(1+1)” とみて, 二項定理を用いる。 00000 mil (a+b)"=a"+C₁a"-1b+nC₂a" b²++nCn-1ab1+br 基本21 (2)直接は求めにくいから、前ページの基本例題21同様, はさみうちの原理を用 いる。 (1) で示した不等式も利用。なお、はさみうちの原理を利用する解答の書き方 について,次ページの注意 も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 解答 検討 (1) n≧3のとき 2"=(1+1)"=1+Ci+nC2++nCn-1+1 21+n+1/2n (n-1)+/n(n-1)(n-2) 1 5 -n³+ 6 n+1>. n=1,2の場合も不等式 は成り立つ。 <2"≧1+nCi+nCz+nCs (等号成立はn=3のと き。) 1 よって 6 (2) (1)の結果から 0< 2n n' よって 6 2n n 6 lim 12700 n -= 0 であるから 2 lim- n (S) 各辺の逆数をとる。 <各辺に n² (0) を掛け る。 n2n =0 B はさみうちの原理。 はさみうちの原理と二項定理 はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として, 上の例題のように、 二 理が用いられることも多い。 なお、二項定理から次の不等式が導かれることを覚えておく とよい。 x≧0のとき (1+x)"≥1+nx, (1+x)">111

マーカーのところどうしてこうなるのか教えてください。

8・15(金) 三角関数5 あやふやな知識は大事な時に役に立ちません。 関数 y= sincos+2sincos0 +1 がある。 また、x= sin-cos0 とお く。 (1)=2のときの値を求めよ。 (2) を rin (0+α) (r> 0, la≦α<) の形で表せ。 また, OMOS のとき, xのとり得る値の範囲を求めよ。 (3)yをxを用いて表せ。 また, 00S のとき, 方程式 y=k を満たすのが 存在するような定数の値の範囲を求めよ。 (1)聖のとき y= sin 1/2-008 / +28ium/cg/1/28+1 = 1-0+2.10+1 2 y=kをみたす日が存在するのは、 y=-x-1232+1/(x)のグラフと ykのグラフが共有点をもっとき。 したがって、右図より (2) X= sint-cso 〃 ·√2 sin (0-1) √ # また、0.≦日のとき、 この範囲において sin(0-6)≤ -1=√23in (0-7)=√2 -12 # (3) x²= (sino-cose)" 0 = silt -2sintas + custo 2 sino cos & = 1-x² y=x+(1-x^)+1 ビーズ+x+2 + また、y=-(ポール)+2 (2)より 9 「2なので、 グラフをかくと右図のように 0 なる。 なので、 99 ↑ # √ 29 71-(x-1772 (-16x35)

（2）の問題で余弦定理の形に変換させたあと（2）の解説の3行目のようになるにはどういう考えをすればよいのですか？？教えていただきたいです

83 三角形の形状決定 桑立 次の等式が成りたつとき, △ABC はどのような三角形か. (1) asin A+bsin B=csin C (2) a cos A+ bcos B= ccos C 139 精講 辺だけの関係式 にします。 三角形の形状を決定するときは, 正弦定理, 余弦定理を用いて, 解答 (1) 外接円の半径をRとすると, 正弦定理より、 a² 62 + == C2 2R 2R 2R a2+b2=c2 よって, AB を斜辺とする直角三角形. 単に「直角三角形」 ではいけません. どこが斜辺か,あるいはどこ が直角かをつけ加えなければなりません. (2) 余弦定理より 2bc a(b²+c²-a²)b(c²+a²—b²) _ c(a²+b² — c²) 2ca = 2ab :. a² (b²+c²-a²)+b² (c²+a² − b²) = c² (a²+b²-c²) 第5章

（1）の問題で解説の青ラインの形にはどのように変形したかが理解できません教えていただきたいです

250 23 139 83 三角形の形状決定 DURE 次の等式が成りたつとき, ABCはどのような三角形か. (1) asinA+bsinB=csinC (2) acosA+bcos B=ccosc ((I) |精講 辺だけの関係式 にします。 三角形の形状を決定するときは, 正弦定理, 余弦定理を用いて, 解答 (1)外接円の半径をR とすると, 正弦定理より, a² 62 + = C2 2R 2R 2R ∴.a+b2=c よって, AB を斜辺とする直角三角形. 単に「直角三角形」 ではいけません. どこが斜辺か,あるいはどこ が直角かをつけ加えなければなりません。 (2) 余弦定理より a (h²+c² — a²)b(c²+a²-b²) c(a²+b²-c²) 第5章