解答では、それぞれの長さを変数でおいてから、相似比で1変数に直していますが、別解として、θを設定して1変数関数として求めることは出来ますか？できれば答えまで示して欲しいです

ENGRENS. 4K 89 重要 例題 104 最大・最小の応用問題 (2) 題材は空間の図形 ①①①① 半径1の球に,側面と底面で外接する直円錐を考える。この直円錐の体積が最 基本 103 小となるとき, 底面の半径と高さの比を求めよ。 指針立体の問題は,断面で考える。→ここでは,直円錐の頂点と底面の円の中心を通る平 面で切った 断面図 をかく。 問題解決の手順は前ページ同様 ① 変数と変域を決める。 2 量(ここでは体積) を で決めた 変数で表す。 3 体積が最小となる場合を調べる (導関数を利用)。 であるが,この問題では体積を直ちに1つの文字で表すことは難しい。 そこで,わか らないものはとにかく文字を使って表し, 条件から文字を減らしていく方針で進める。 50-0 直円錐の高さをx, 底面の半径を r, 解答 体積をVとすると, x2 であり A TATR)S (高さ)> (球の半径) x2 から。 7= ...... ① x 3 D 球の中心を0として,直円錐をその 頂点と底面の円の中心を通る平面で 切ったとき,切り口の三角形ABC, および球と △ABC との接点 D, E を 右の図のように定める。 (Onie-nia +(1+8203)8 200/ △ABE∽△AOD (*) であるから AE: AD=BE:OD B --E C (*) △ABE と △AODで ∠AEB= ∠ADO=90° ∠BAE = ∠OAD (共通) 26 すなわち x:√(x-1)2-12=r:1 (1+0 2000 2001 0200S) (1+0 200) 対応する辺の比は等しい。 AD は, 三平方の定理 を利用して求める。 x よって r= 2) √x²-2x ②①に代入して V=π 2 x π x •x= 3 dV π2x (x-2) -x2・1 x-2 πx(x-4) • 3(x-2)2 よって dx = 17 3 (x-2)2 dv = 0 とすると, x>2であるから x=4 dx x>2のときVの増減表は右のようになり、 体積 V はx=4のとき最小となる。 このとき, ②から r=√2 ゆえに, 求める底面の半径と高さの比は r:x=√2:4 Vをx (1変数) の式に 直す。 () u'v-uv v.2 x 2 4 dv 4 20 dx V 極小 +

写真の質問に答えてください。

518 解答 看 検討 00000 基本例題 111 倍数の判定法 5桁の自然数 2576 が8の倍数であるとき、□に入る数をすべて求めよ。 11の倍数については, 次の判定法が知られている。 「偶数桁目の数の和」 と 「奇数桁目の数の和」 の差が11の倍数 このことを,6桁の自然数Nについて証明せよ。 指針 (1) 例えば,8の倍数である 4376 は, 43764000+376=4・1000+ 8:47 と表される 1000=8･125は8の倍数であるから, 8の倍数であることを判定するには,下3桁が 8の倍数であるかどうかに注目する(ただし,000 の場合は0とみなす)。 (2) N=Ak+Bのとき, Nが4の倍数ならば,BはAの倍数 (文字は整数) Nを11k+Bの形で表したとき, Bが11の倍数であることから証明できそう。 解答 のように, 10の累乗数を11の倍数±1の形で表しながら, 変形していくとよい。 (1) 口に入る数をα (αは整数, 0≦a≦) とする。 下3桁が8の倍数であるとき, 2576は8の倍数となる から 700+10a+6=706+10a=8(a+88)+2(α+1) 2 (a+1) は8の倍数となるから, α+1は4の倍数。 よって α+1=4, 8 すなわち α = 3,7 3, 7 したがって、□に入る数は (2) N=10°a+10+10°c +10°d + 10e + f とすると N=(100001−1)a+(9999+1)+(1001-1)c (99+1)d+(11-1)e+f =11(9091a+9096+91c+9d+e) 青 +(b+d+f)-(a+c+e) よって, N11の倍数であるのは、偶数桁目の数の和 acte と, 奇数桁目の数の和b+d+fの差が11の倍 数のときである。 p.516 基本事項 706=8・88+2 例えば,987654122 は、 右の図において、(①+③)-②からい (987+122)-654=455=7×65 - ･987654122 は 7の倍数。 なお,この判定法は, 103+1=7×143, 10°-1=7×142857, 10°+1=7×142857143, ・であることを利用している。 ..…... 0≦a≦9のとき 1≤a+1≤10 1001=7・11・13 は記憶しておくとよい。 -a+¹-c+d-2+) を問題に合うように変形 した。 いったい 7の倍数の判定法 7の倍数については、次の判定法が知られている。 下の練習 111 (2) 参照。 一の位から左へ3桁ごとに区切り,左から奇数番目の区 画の和から、偶数番目の区画の和を引いた数の倍数 である。 451 987 654122 3桁ごとに区切ると 987654122 ① すか (2) 基本例題 40 63n が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 練習 (1) 5桁の自然数 493の□に,それぞれ適当な数を入れると9の倍数になる。 ② 111 このような自然数で最大なものを求めよ。 (2)6桁の自然数Nを3桁ごとに2つの数に分けたとき、前の数と後の数の差が7 の倍数であるという。 このとき,Nは7の倍数であることを証明せよ。 112 素因数分解に関する問題 n² 196'441 (2) いずれの問題も素因数分解が,問題解決のカギを握る。 √A" (m は偶数) の形になれば, 根号をはずすことができるから、 の中の数を素因数分解しておくと、考えやすくなる。 n² n³ 196' 441 6 を考える。 がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 n³ P.516さ 63n (2) 6 mmは自然数)とおいて ゆえに V 40 これが有理数となるような最小の自然 n=2・5・7=70 習 $112 3².7n 2³.5 -=m(mは自然数)とおくと n² 22.32m² 32m² 72 196 2³.72 これが自然数となるのは, mが7の倍数のときであるか n³ Dっで よって 441 3 7n 2 V 2.5 (3) m=7k(kは自然数) とおくと n=2・3･7k... ① 1500 (1) 277m 2³.33.73k³ 32.72 0000 3m n n² n 10' 18' 45 3 条件 = 2³.3.7k³ 素因数分解 3) 63 3) 21 7 63=3²-7 63-3-7, 40=2¹-5 X2-5-7 これが自然数となるもので最小のものは, k=1のとき①よりが最小のとき、 n=42 nも最小となる。 ら ①k=1 を代入して 旦 2!!! 素因数分解については,次の 素因数分解の一意性も重要である。 成数の素因数分解は,積の順序の違いを除けばただ1通りである。 って素数の問題は、2通りに素因数分解できれば、指数部分の比較によって方程 式を解き進めることができる。 なお, 1 を素数に含めると, 8=2=12'12.2° のように、 素因数分解の一意性が成り立たなくなるので, 1は素数から除外してある。 問題3･15"=405 を満たす整数m,nの値を求めよ。 [解答 3m・15"=3"(3.5)"=3m+n.5", 405=34.5であるから3535 指数部分を比較して m+n=4, n=1 m=3, n=1 が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 (2) 54000nが自然数になるような最小の自然数nを求めよ。 21 25 =1/12.7=14/12 (有理数) となる。 4 ⑩ 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数 0.5 ISD L2 p.535 EX 78 がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 0.75 0.750 1011101001 10101(2) 224321(5) 317h-4l) 21h-121

整数の問題です！ （3）について p、qは異なる素数というのはなぜそう言えるですか？ あと、p＜qというのはなぜわかるんですか？問題文からわからないような気がするんですけど、どうしてそうなるのかを詳しく教えて欲しいです🙇‍♀️

本例題 105 63 が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 40 1 12 441 6' 196 がすべて自然数となるような最小の自然数nを求めよ。 条件 約数の個数 24の倍数で,正の約数の個数が21個である自然数nを求めよ。 173) 63n 3 In 32.7n 1 40 V 2³.5 2 V 2.5 数となるような最小の自然数nは >いずれの問題も 素因数分解が,問題解決のカギを握る。 (1) A" (mは偶数) の形になれば, 根号をはずすことができるから、√の中の数を素 因数分解しておくと、考えやすくなる。 (2) 13m (mは自然数)とおいて, n² =m 6 n (2) = (mは自然数) とおくと 6 D. 432 B3), (4) 00000 (3) N = pqrf...の正の約数の個数は つまり個数となる数を積で表し、指数となるα b. 21 を積で表すと 21・17･3であるから、nは n³ 2³.3³.7³k³ 441 3².7² n³ 196' 441 が自然数となる条件を考える。 n=2.3m =23.3.7k3 (a+1)(b+1)(c+1)・ であるから,これが有理 n=2・5・7=70 またはカ ートの形。 ･･････ の値を決めるとよい ゆえに n² _24.32m²_32m² 3m 196 22.72 これが自然数となるのは,mが7の倍数のときであるから、 m=7k(kは自然数) とおくと n = 2.3.7k...･・･ よって これが自然数となるもので最小のものは, k=1のときであ るから,①にk=1 を代入して n=42 (3) nの正の約数の個数は21=21.1=73) であるから, nは が またはQ² (p、qは異なる素数, p<4) の形で表される。 は24の倍数であり, 24=2･3であるから、nは2の形 で表され、求める自然数nは n=26.32=576 61x30 att f ↑圧」 有理数で表せる 無理益ー せな 3 7 112√√2/15 =1212.7 = 22 となる。 -×2・5・7 とか <①より kが最小のとき､n も最小となる。 435 21-1から pai-lgil 7.3 から 13 の形と考えられる。 <p=2.g=3 1.

半球1の球に、側面と底面で外接する直円錐を考える。のとこはどういう感じですか？写真の2枚目はこういうことですか？

310 20 00000 重要 例題 184 最大・最小の応用問題 (2) ・・・ 題材は空間の図形 半径1の球に, 側面と底面で外接する直円錐を考える。 この直円錐の体積が最小 となるとき 底面の半径と高さの比を求めよ。 TORST 指針 立体の問題は,断面で考える。 →ここでは, 直円錐の頂点と底面の円の中心を通る平 で切った断面図をかく。 問題解決の手順は前ページ同様 ① 変数と変域を決める。 ② 量(ここでは体積) を ①で決めた 変数で表す。 であるが,この問題では体積を直ちに1つの文字で表すことは難しい。 そのため、わから ③3 体積が最小となる場合を調べる (導関数を利用)。 ないものはとにかく文字を使って表し,条件から文字を減らしていく方針で進める。 00=8A 解答 直円錐の高さをx, 底面の半径を r,体積 をVとすると, x>2であり V== πr²x ① 球の中心を0として,直円錐をその頂点 と底面の円の中心を通る平面で切ったとき, 切り口の三角形ABC, および球と△ABC との接点D, Eを右の図のように定める。 nie +(1+6200) △ABE S △AOD (*) であるから AE: AD=BE: OD すなわち -1)-(1+ x:√(x-1)2-12=r:1 よって 練習 r= ②①に代入して ..... x √√x²–2x = 座標空間の点A(1.1 X 12 √√x²-2x D BE 3 dV_π 2x(x-2)-x2・1 よって dx 3 (x-2)2 dV -=0 とすると, x>2であるから dx x>2のときVの増減表は右のようになり,体積Vはx=4 のとき最小となる。 このとき ② から r= √2 ゆえに、求める底面の半径と高さの比は - •X= .2 π 3 x-2 πx(x-4) 3 (x-2)² x=4 r:x=√2:4 C (高さ)>(球の半径) ×2 から。 200)+105= (*) △ABEと△AODで ∠AEB=∠ADO=90° Ay ∠BAE=∠OAD (共通) 対応する辺の比は等しい。 AD は, 三平方の定理を 利用して求める。 dV dx V √ ( ² )' = ²² Vをx (1変数) の式に直す 。 2 u'v-uv ... - 02 4 - 0 26 極小 E ① 2 B612 [

（2）を赤ちゃんでもわかるくらい簡単に教えてください🙏

約数と倍数、最大公約数と最小 基本 例題105 素因数分解に関する問題 e21a 471 63n が有理数となるような最小の自然数nを求めよ。 40 V S 88 n3 がすべて自然数となるような最小の自然数 nを求めよ。 441 n 6° 196 4章 p.468 基本事項3 D。 指針>いずれの問題も素因数分解 が,問題解決のカギを握る。… 17 素因数分解 3) 63 3) 21 (1) VA"(mは偶数)の形になれば,根号をはずすことができるから、 rの中の数を素因数分解しておくと, 考えやすくなる。 n° n° 7 =m (m は自然数)とおいて, 196 が自然数となる条件 441 n 6 63=3°-7 CO のTO 0S

（1）の指針の部分で n+6>0になぜなるのですか？ n-4>0は考えなくていいのですか？？

74 000 (1) nは自然数とする。 n+2n-24が素数となるようなnをすべて求めょ。 (2) p, 9, rをかくqくrである素数とする。等式r=q"-bを満たす p、q、ro 基本 例題108 素数の問題 組(b, q, r)をすべて求めよ。 (2) 類同志社大 指針 素数 このことが問題解決のカギとなる。なお, 素数は2以上(すなわち正)の整数である。 これが素数となるには, n+6>0と!より,n-4, n+6のどちらかが1となる必要がある。ここで, n-4とn+6の大小関係に注目する 素数pの正の約数は1とp(自分自身)だけである ある せば り把 0. (1) n°+2n-24=(n-4)(n+6) と,おのずとnー4=1 に決まる。 (2) 等式を変形すると (q+p)(q-か)=r 目すると q-か=1 一方が奇数で,他方が偶数である。ここで, 「偶数の素数は2だけ である」という性質を利用すると, かの値が2に決まる。 q+p>q-p>0, rは素数であることに性 ここで, q, かはその差が奇数となるから, 固+園=圏 園土園一園 偶土園=個 も SS

命題？について質問です。 線を引いたところに、任意の点で成り立つなら特別な点でも成り立つから、特別な点で考えよう、とありますが、特別な点で考えたほうが条件が弱い？(一般性に欠ける)のに、特別な点で成り立つことを示せば良いのはなぜでしょうか？　 あと、必要条件じゃなくて十分条... Read More

3 ーー 訂面店標設定、 必要条件から和分入り明認ーー 因 平面上の四角形 ABCD を考える. (⑪) 四角形 ABCD が長方形であるとき, この平面上の任意の点p | 対むで ペ A PA*+PC* =PB"二PD が成り立つことを証明せよ、 (2) 逆にこの平面上の任意の点 P に対して PA + PC" = PB~ 十 PD^ が成り立つならば, 四角形 ABCD は長方形であることを証明せょ | (信州大] | galg|回還上| (0 このような図形問題でまず悩むのが道具の選び方です、つまり, <^ト ル・初等何・護標 (理系なら複素数平面もあります) などのどれできた 36べべをすまな す. 例えばベクトルは分点の比や面積比どを求めるのが得意です. しかし ME りますが, 複雑なるのは座標をおかないとわからないこともあります. 枝 ベクトルで考えるにしても成分を設定するというのは座標を設定することに なるので, いろいろな道具を併用しながら問題解決への糸口を探って(だ さい. つぎに問題になるのは論数・未知数を何にしようかということでしょ う. 大雑担にいうと「辺の長さ」や「角度」になると思います。絶対にこ4 というものはないので, 問題の特性に合わせて柔軟に考えましょう.。 (ロ 島のこで成立するための条件を求めよ」という間題ではあり# で成立する >・・・・・である」ということを示せばよ" 村条件だけでよいということを最大限に利用します. 鍵 N5特別な点でも成り立つたいうこょとから,四角形ABO とを導きます. 用 ひし形を示すときには, まず平行四辺形であるこき 還その後 le として 」 っの角が直角なら長方形, 名

問3(2)を出来れば計算過程ありでお願いします🙇 苦手なのでコツもあればお願いします🙏

ューのo 本 IA のり っ9 Po 6 第ヵ項が次の式で表される数列の極限を求めよ. ①⑰ が介さ) (2②) (We-1 j』ふ1を満たす宇数