(2)です。αは1の6乗根の一つのためz^6-1の解となるというのが分かりません。

C2-48 (396) 第5章 複素数平面 Think 例題 C2.22 単位円に内接する正多角形 **** 複素数平面上において、原点を中心とする半径 1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を, が z-1=0の解となるから, 2ドアブルの定理 (2)(1)よりは1の6乗根の1つであり, 1, a, a, a, a, a (397) C2-49 p.C2-38 例題 C2.19 z-1=(z-1)(za)(za)(za)(za)(za) 注> 参照 y4 Q2 a 21 とおける. 21 0 a³ 1x 一方、 3 26 z-1=(z-1)(z+2+2+2+z+1) ......③ -1 0 x 解答 左回りに 21. Z3 Z3.21.25.26 とする. また, a=cosotising とする。 このとき、次の問いに答えよ、 (1) ++++25 +26 の値を求めよ. (2) (1-2) (1-2) (1-0)) (1-0) (1-α)=6であることを証明せよ。 考え方 24 25 26は正六角形の頂点であり、この 6点は、 単位円周上の6等分点である。 つまり、点を原点Oのまわりにだけ回転させると. に移る。同様に、それぞれの点を原点のまわりに だけ回転させると、 21,226 25 25→26にそれぞれ移る (p. C2-38 例題 C2.19注>参照) (1) 点 21, 2,......26 は単位円周上の6等分点である。 また a=cos+isinは,点を原点Oのまわり である.ここで, ② ③より、 (z-1)(za)(za)(za)(za)(za) =(z-1) (z+2+2+2+z+1) であるから, (za)(za)(za)(za)(za) =2+2+2+2+z+1 となる これは,zについての恒等式であるから, z=1 を両 辺に代入すると, (1-α) (1-α) (1-α) (1-α^) (1-α)=6 a a が成り立つ。 Focus 2π 2π a=cos +isin n n とすると,単位円周をn 等分する点は, 1,α, ',, α"-' と表される 第5章 また, にだけ回転させる複素数であるから, となるので, 22=az 23=0z2=221 26=Qzs=Qz1 2+2+2+2+25+26 =2+2+2+2+2+z......① 430 4 z-1=(z-1)(z -α) (z -α^) (za-l) (1-α)(1-α) (1-α) (1-α) (1-α)=6より両辺の絶対値をとると | (1-α) (1-α) (1-α") (1-α")(1-α)|=|1-α||1-α||1-α||1-α'||1-α|=6 と ~10 なる.この式の図形的な意味を考えてみよう. 単位円周を6等分する点をA。 (1), A(α). y4 A2(2), As(a), A(a), A5(α) とすると, この式は,単位円の弦の長さの積 Az(a) A₁(a) での和である. ①は、初項 z1, 公比 αの等比数列の初項から第6項ま ois-Bala 初項 z1, 公比α (αキ1) の等比数 AA1・ADA2A6A3A.AiA.As=6 であることを表している。 As (a³) Ao (1) 0 α≠1 より 列の初項から第 z₁(1-a) 2+2+2+2+25+26= となる. n項までの和は, 1-a 05 air+82(1-α) 1-a このことは,練習 C2-22 の(2)のとおり, 単位円周をn 等分する点についても成り立つ。 つまり 半径1の 円に内接する正角形の1頂点から,他の各頂点に 引いた線分の長さの積はnになる. A(a) As(as) ここで, 練習 α=(cos+isin よって, =cos2m+isin2π =1 +2+2+2+2+26= 0 B200+ 2 (S) 200+1-2 (c) される。 *** Z3, ....... zm とする. また, α=cos stat (0) 複素数平面上において, 原点0を中心とする半径1の円に 02.22 内接する正角形の頂点を表す複素数を,左回りに Z1,Z2. +isin とする. ya. 22 2π 2π n n 0 11x (1)1+2+2+......+z=0 であることを証明せよ。 (2) (1-α) (1-α) (1-α)...... (1-α"-1)=nであることを 証明せよ. 2n B1 B2 C1 (北海道大改) ●p.C2-51 24 C2

３番でなぜ係数はkなのにDとEはB、Aの内側にあるとわかるのかがわかりません、よろしくお願いします🙇‍♂️

考え方 [Check] ベクトル 例題 358条件を満たす点の動く範囲 (1) *** AOAB に対し, OP = sOA + tOB (s, tは実数) とする. s, tが次の 条件を満たすとき,点Pの動く範囲を求めよ. (1)s+t=1, s≧0, t≧0 (3)st≦1,s≧0, t≧0 (2) 3s+t=2 (1)s=1-tとしてsを消去した式で考える. (2)条件式をs'+t′'= 1 の形に変形し, (1) と同様に考える. S, tに範囲がないことに注意する。 解 (1)s+t=1,s≧0, t≧0 より, s=1-t,0≦t 直交座標と比較して したがって, OP=sOA+tOB=(1) OA+tOB よって、点Pは線分AB上を動く. みよう. B (1) x+y=1, *201 YA 3 t (「図) (2)条件より, st =1 ---- OP=OA+108=228/1/30A+1/2･20B 3 S= s' = 1/12s, t=1/12 とおくとg'+f=1 // (4-4) したがって,直線 OA, OB上にそれぞれ 1=8+0 (2)3x+y=2 B wy. 点A', B' を OA'=20A, OB′=2OB 2 となるようにとると, OP = s'OA'+'O よって, 点Pは右の図の B 021 直線A'B' 上を動く. 3 A M S t (3)s+t=k とおくと,k=0 のとき, //=1 + (3) x+y=1 k k x≥0, y OP=sOA+toB=/ ・kOA+・ROBO t k ( 1=s', //= とおくと, k =t' とおくと, s'+t'=1,s'≧0,0 したがって、OD E= 0 とすると. OP=s'OD+t'OE E より, 線分 DE を表す. 48 よって, 0≦k≦1より、点Pは右の 図のOAB の周上および内部を動く.0 DA k=0 の Focus -1 を作れ

逆関数が一致する条件の問題です。僕の解答はどんなところが論理性に間違いがあるのですか？

108 第2章 関数の極限 例題 42 逆関数をもつ条件 一致する条件 **** 関数y cx+d ax+b (a, b, c. dは実数, α≠0) が逆関数をもつための条 件と,その逆関数がもとの関数と一致するための条件をそれぞれ求めよ. 考え方 分数関数y= cx+d を k wwwwwwwww ax+b y= ax+b+q の形に変形する.このとき, k0 であれば、 逆関数をもつk=0 のときは y=g(定数)となり、逆関数をもたない。 また、逆関数ともとの関数が一致するのは次の両方が成り立つときである. ・定義域が一致する ・定義域のすべてのxの値に対してf(x)=f(x) bc cx+d d- 解答 a y ax+b ① より. C C y= + ax+b a a ①が逆関数をもつ条件は、 bc ax+bcx + d d- ¥0 bc a cx+ したがって, a≠0 より. a ad-bc 0 bc d このとき、①の値域は,y== a は漸近線 a ①の分母を払って, xについて整理すると. (ax + b)y=cx +d より, (ay-c)x = -by + d y=ccより、ay-c≠0 であるから, x=- xとy を入れ換えて、 ① の逆関数は,y=- -by+d ay-c -bx+d ② ax-c ①と②が一致するとき、 ①の定義域xキ b a と②の定義域 もとの関数の値 x=が一致するから, b_cより、 b+c=0 ③ 域が逆関数の定 義域になる. a a a もにy= となり一致する. 逆に,ad-bc=0 のとき, ③が成り立つならば、 ① ② はと -bx+d ax+b | 逆を確認する. Focus よって 与えられた関数が逆関数をもつ条件は,ad-be≠0 その逆関数がもとの関数と一致する条件は, 逆関数をもつ条 ad-bc≠0, b+c=0 件を忘れない . k y=ax+b +g (a0) でんキ0 ならば、 逆関数は存在する cx+d では ad- d-be ・bc30 ax+b 練習 関数 y= 42 ** bx+c x-a (a b c は実数) が逆関数をもつための条件と、その逆関数 がもとの関数と一致するための条件をそれぞれ求めよ.

？つけたとこが分からないです

(2)・不等式の証明 *** nが2以上の自然数のとき, 1+ 1 1 1 + 十 ・+ 22 32 2 <2- が成り n n 「ことを数学的帰納法で証明せよ。 考え方 2以上の自然数について成り立つことを示すので、次のことを証明すればよい (I) n=2のとき,不等式が成り立つことを示す. (2)のとき、不等式が成り立つと仮定し、これを用いて,nk きも成り立つことを示す. 1 1 1 解答 1+ 22 + + + 32 <2- n •••••• ① とおく n (I) n=2のとき, 15 224' (右辺)=2- 1_3 = 2 2 (左辺)=1+2= より, (左辺) く (右辺) となり, n=2のとき ①は成り立つ。 (Ⅱ)n=k(k≧2) のとき, ① が成り立つと仮定すると, 以上 1 1 1 1+六十 +: + 1 <2- ...... 22 32 ..(*) k² =k+1 のとき, 1 10 1 1 1 1+ ・+ + + + <2- 何を示すか 22 32 k² が成り立つことを示す. (右辺) - (左辺) (k+1)2 + k+1 る. (右辺) ( 1 1 1 1 + を示せばよ =2-- k+1 1+ + + 2232 ・+・ + k² (k+1)²+ (*) の仮定 2 1 不等 >2- 2. + k+1 k (k+1)21 (Iに注意する 1 くな >0 k(k+1) したがって, (右辺) (左辺)>0 となり, n=k+1 の ときも①は成り立つ. AIS->-A んは2以上 (I) (II)より、2以上のすべての自然数nについて ①は成りだからk( よって, 立つ. k Focus

なぜx²で割るのですか？ そういうもんなのですか？

例 1 方程式 Ttxtのおき換えを利用して、xの4次方程式 x **** を解け 2x-9x-x-9x+2=0 考え方 係数が中央の頃から左右対称である方程式を相反方程式という (日本医大) 解答 Focus この方程式は有理数係数では1次の因数をもたないので、代入して0になる有理数に 見つからない.つまり,因数定理は利用できない (ただし、奇数次の相反方程式はx+1 を因数にもつ.) x=0 は,明らかに解ではないので x=0 したがって, 方程式の両辺を”で割ると. 2x2-9x-1- + =0 x 2(x+1/21)(x+1)- 9 2 X -1=0 ...... ① &g) I-z ( ここで,t=x+ t=x+2 とおくと、 x x+1=(x+1)-2x1=1-2 割り算では割る数 0でないことを確言 しておく. 0を代入す と、左辺) = 2, 12(右)=0 となり 成り立たない。 tの2次方程式とし 考えることができ x+y (2)=(x+y)²-2xy ①に代入して, 2(-2)-91-1-0 2t2-9t-5=0 (2t+1)(t-5)=0 5とし 2' 1 したがって、(2x+2/+1)(x+15)=0 の x+ x 2' 1 両辺に x2 を掛けて, (2x+2+x)(x+1-5x) = 0 よって, 2x2+x+2=0 または x+-=5 x -1±√15i 5±√21 x= 2 x2-5x+1=0 より,を解いてもよい 与式が1次の因 理数係数)をも 相反方程式ではt=x+1とおけ XC ことがわかる.

これの(4)て、√2()の形にしちゃったらむしろ計算終わってないから不正解になんないんですか？

48 第1章 数と式 Check 例題16 分母の有理化 次の式の分母を有理化して計算せよ。 √6 3√3 2 (2) (1) 4 √5+√3 3 4 (3) + (4) 1 1+√√2+√√3 2+3 √√3-1 考え方 (1),(3)(vat√b)(√a-√6)=(√a)-(√6)=a-b を利用する (4) 1+2=3 なので, 分母を (1+√2)+√3 と考え、分母分子に 掛ける. www √63√3_√63√3√63√ √6 2 17 次の文を 80 20 解答 (1) 4 √8 4 2√2 4 4 2/2 3 4 2 (53) 2(√5-√3) 2 (2) √5+√3 (√5+√√3) (√√√√3) =√5-3 5-3 5+ =5-3 Focus 3 4 (3) + 2+√3 √3-1 3(2-√3) 4 (√3+1) = + 6-3√3 4√3+4 = + 4-3 3-1 1 (4) (2+3)(2-3) (√√3-1)(√3+1) 1+√√2+√√3 =6-3√3+2√3+2=8-√3 (1+2)-√√3 {(1+√2)+√√3}{(1+√2)-√3)} 日本 1+√√2-3 = = = (1+√2)-(√3)2 1+√2-3 2√2 (1+√2-√√3)x√√2 2√2X √2 √√2 (1+√2-√√3) 4 1+2=31 (1+√ を掛ける 消すことが wwww (1+√2 =1+21 =2/7

上の黒線からどうやって下の黒線のような不等式になったのかがわかりません、よろしくお願いします🙇‍♂️

ここでは、短い方の針金の長さの範囲を求め たいので、短い方の針金の長さを文字でおく 例題 80 2次不等式の応用 S **** 長さ80cmの針金がある.これを2つに切って、それぞれの針金を折 り曲げて正方形を2つ作る。2つの正方形の面積の和が218cm2以上とな るようにするには、針金をどのように切ればよいか。 短い方の針金の長さ の範囲を求めよ. 考え方 まず何を文字でおくか考える ( 徳島文理大 ) 針金の長さを x とおくと・・・ cm (2.0), (/2. このとき、右の図のように針金は正方形に折) 針金の長さを4cm とおくと・・・ り曲げて考えるので,文字はxではなく、 4xcm とおく. xcm 解答 短い方の針金の長さを 4x cm とすると,長い方の針金の 長さは, 80-4x=4(20-x) (cm) 0<4x<40 より 0<x<10.11 2つの正方形の1辺の長さは, それぞれ, xcm, x- \20-x 短い方の針金は (20-x) cm だから. x2+(20-x)2≧218 2x2-40x+400≧218 たわけで2x40x+1820 x²-2x+91≧0 (x-7)(x-13)≧0 2 ① より x≦7,13≦x ...... ② ①②より 0 7 10 13 x 0<x≦7 80cmの半分未満 いて考え ある。 2つの正方形の面 の和が218cm²以 を不等式で表す. これよって, 0<4x≦28 だから,短い方の針金の長さ の範囲は0cmより長く, 28cm以下とすればよい(さる) Focus 81 で

正規分布を標準化して、利用する問題です。これってわざわざ正規分布表見て、確率出さなくても、標準化したら全く同じ確率密度関数として表されるから、Zの値だけで比較するには良いですか？

2 正規分布 (161) B2-21 例題 B2.8 正規分布の標準化 (1) **** 大勢の受験生が受けた2つの試験の平均点はそれぞれ55.8, 78.2, 標準 偏差はそれぞれ 10.2, 6.4 であった. A は前者の試験を受けて72点, B は後者の試験を受けて86点であり、どちらの試験の得点も正規分布に従 うとき,AとBのどちらが,より学力が優れていると考えられるか. 第2章 考え方 確率変数 X が正規分布 N (m,℃)に従うとき,Z=X- X-m とおくと, Zは標準正規分 ō 布N (0, 1) に従う. A, B の得点を超える受験生の割合を正規分布表を用いて調べると, A,Bの学力の位置付けが把握できる. 解答 Z₁ = とおくと,Zは標準正規分布 N (0, 1)に従う. 前者の試験の得点を X とすると,Xは正規分布 N (55.8, 10.22) に従うから, X-55.8 10.2 よって, P(X≧72)=PZ≧ 72-55.8` y 10.2 72-55.8 162 ≒P(Z1.59) -0.4441 10.2 102 =0.5-0.4441 =1.588...... =0.0559 0.0559 P(Z,≧1.59) =0.5-P(0≤Z,≤1.59) 後者の試験の得点を Y とすると,Yは O 1.59 Z 正規分布 N(78.2, 6.4℃) に従うから, Z2=- Y-78.2 6.4 とおくと, Z2は標準正規分布 N (0, 1)に従 う よって, P(Y≧86)=PZz86-78.2) yA 6.4 ≒P(Z2≧1.22) =0.5-0.3888 =0.1112 したがって, 0.0559<0.1112 から, A の 方が試験を受けた各集団の中で学力が上位 0 1.22 にあると考えられる. Aは上位約 5.59%, Bは上位約11.12% 86-78.2_78 0.3888 6.4 64 =1.218･･････ 0.1112 P(Z2≧1.22) =0.5-P(0≦2≦1.22) Focus よって, A の方が学力が優れていると判断できる. の生徒であると考えら れる. 確率変数X が正規分布 N(m, 2)に従うとき, Z= る確率変数は標準正規分布 N (0, 1)に従う X-m で定ま O 800 人の受験生が受けた英語,国語, 数学の試験の得点は正規分布に従い,平 練習 B2.8 均点は, それぞれ 54.8, 60.4, 48.3 で,標準偏差は, それぞれ 12.4, 11.2, 16.1 ** であった. A の得点が英語72点 国語 78点 数学68点であるとき,どの教 科の成績順位が最も高いといえるか. ●p.B2-25 回 B B2

絶対値を含む関数のグラフですが、常にx軸よりグラフが上にあるわけではないのですか?

384 第6章 微分法 例題 197 絶対値記号を含む関数のグラフ 関数 y=x|-3| のグラフをかけ. 考え方 絶対値記号の中が0以上か負かで場合分けをして, まず、絶対値記号をはずす . **** A(AZO) |A|= -A(A<0) 場合分けをしたそれぞれの関数について, y' の符号 を調べ、増減表を書けばよい. そのとき, 定義域に注意する. x2-3 解答 = x2-3 (x≦√3√3≦x) |x2-3|- -x^+3(-√3 <x<√3 ) より、 x-3x (x≦√3√3≦x) y= l-x+3x(-√3 <x<√3) (i) y=x-3x(x-√3-√3≦x) のとき y=3x²-3=3(x+1)(x-1) y'=0 とすると, x=-1,1 これは,区間x≦-√√3,√3≦x にない. (ii) y=-x+3x (-√3<x<√3) のとき y′=-3x²+3=-3(x+1)(x-1) y'=0 とすると, x=-1,1 これは,区間 -√3<x<√3 にある. (i), (ii)より,yの増減表は次のようになる. =(x+√3)(x-√3) より, (x+√3)(x-√3)≥0 のとき, (x+√√3)(x-√3)<0 のとき, 3x2-3=0より, x2-1=0 つまり, x=±1 x 3 ... -1 ... 1 ... √3 y' + = 0 + 0 + 極大 極小 極大 極小 y 0 -2 2 0 よって, グラフは右の図 のようになる. y 2 N Focus √31 10 -2 絶対値記号を含む関数のグラフをかく 場合分けをして増減や極値を調べる 練習 (1)関数y=xlx-3| のグラフをかけ. [197] (2) 関数y=|x-3x| のグラフをかけ. *** 区間により, 関数が 違うので注意する。 x=√3-√3 のと きは,y'=0(y' は存 在しない) であるが、 その前後での符 号が変わるのでこ の点でも極値をとる. f(-x) =-x|(-x)2-3| =-x|x-3| =-f(x) より,f(x)は奇関 数であるから, グ ラフは原点に関し て対称である. p.398 D

ここで正の無限大にって書くのはダメですか？

64 第1章 数列の極限 [n+] 例題23 無限級数の収束・発散 (1) 次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ. **** 1 1 (2) an (1) 1-3 2-4 3-5 n(n+2) I 2 3 (2) √2+13+14+1 yn+1 +1 2 無限級数 65 n vn+1 +1 ⑥東C始の不定形 n(vn+1-1) n+3 (3) n n+2人 より (vn+1+1)(vn+1-1) =√n+1-1 したがって lima= lim(vn+1-1 *-* 00 lim S玉の無限大に + 分母を有理化する. 第1章 +1 (1) 数列{a} が 0 に収 束しない Naは発散 考え方 無限級数の収束・発散を調べるには、 まず。 一般項 α の収束・発散を調べ 次に、部分和 S, を求める。 D S=atat…tat 無限級数 よって、この無限級数は発散する. となり 部分和 Sm ・{S.}が収束Σa. が収束 0350 = (3)S=(2-1)+(2)+(4-0)+ nn+ lim4.=0 ......+ limS=S 2,=S \n-1 n+1) 1+ n+Xn+3\ n+2 部分和 S を求める. SALHA 解答 =2+ したがって 1 (1) {Sが発散が発散 切除するか (1) 部分分数に分解して考える. (2)無理式である。 分母の有理化をする. 一般項を a.. 初項から第n項までの部分和をS" とする. _1/1 1 <部分分数に分解する) 3 n+2n+3\ lim S, 2 n+1 n+2) 3n+2n+3 42n+1 n+2 WANG DER {S.} の収束 発散を 調べる. n(n+2)=( 2 3 nt! 1+ 1+- 3 n n = lim 2+2 1 2 1+- 1+ n n a,= n(n+2) 2nn+2, lima.=0 3 =2 1-1 1 S 11 1.3 2.4 +3.5+...... 部分分数に分解する 3 部分和 S を求める。 よってこの無限級数は収束し、その和は 2 11 (n-1) (n+1) n(n+2) Focus 無限級数の収束 発散 23 bla ...... 1/1 1 2\m n+2) 数列 {a} が 0 に収束しない lima=0 無限級数Σamは発散する n=1 部分和 S を調べる n+1+2 より, limS,=lim 1/ {S} の収束・発散を lim SS (収束)のときan=S =1 1 1 調べる 2 133 n+1 n+2 1 lim- =0. 224 +1 よって、この無限級数は収束し、その和は 1 練習 lim- =0 n+2 23 (1) ** 4 limS=S ⇔ →Σa-S (2) 次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ。 itysty3+√5+15+√7 1 v2n-1+v2n+1 [n+1 n+4 n n+3 + 1 (3) 32-647-85-10 n²-2n →p.8112~15