【整数の性質】 nは平方数になるのですが、解説をみてもよく分かりません。教えてください🙇‍♀️

(2) 素因数分解を利用して、 正の約数の個数について考える。 以下において 自 然数nの正の約数の個数をd(n) と表す。 18の正の約数は 1, 2, 3, 6,918の6個で, d(18)=6である。 これは, 18 = 2 × 32 より 18の正の約数が素因数2と3を何個含むかを考えることで, 2×3=6個と求めることができる。 nが ス ス のとき, d(n) は奇数となる。 また, d(n) が2でない素数となる ET ような400 以下の自然数nはセソ個ある。 の解答群 素数 ① 偶数 ②奇数 ③3 平方数 ④ 立方数

数Aです。何故「ある素数」なのですか？「ある自然数pを約数にもつ」では成り立たないのでしょうか？

例題259 互いに素な自然数の性質(2) C a,bを自然数とするとき,次の命題を示せ. 「α+ b と ab が互いに素であるとき, αとも互いに素である.｣ [考え方 例題 258 と同様の考え方で示すこともできるが,ここでは背理法 (p.202参照) を利用 した証明を考えてみよう。 示したい結論が,「aとbが互いに素である」 なので, その 解答 aとbが互いに素でないと仮定すると, α, bはある素数 を約数にもつから, ? a=pk, b=pl (k, lは整数) DJ a+b=pk+pl=p(k+l) 「αと6が互いに素でない」ことを仮定して,矛盾を導く. とおくと, *** ab=p²kl となり,a+b, abは公約数をもち、p≠1より, a+b, ab が互いに素であることに矛盾する. よって, αと6は互いに素である。 矛盾する内容を導く、

(1)で、なぜPkとPk -1の成立の仮定が必要だと、n＝1,2の成立を示さなければならないのですか？

数学的帰納法 (2) Pn=t" + m 1 式で表されることを証明せよ. T (2) 各項が正である数列{an}が,任意の自然数nに対して 147 s=1+1, (1) x=t+ n ( 2 ar)=2(ard をみたすとする。 3 \k=1 k=1 (i) a1,a2, as を求めよ. (i) an を求めよ. ○精講 (1) 自然数nについての命題なので 数学的帰納法を使って証明すること ができます.帰納法の第2段階目の証明で,帰納 法の仮定を使うためにPk+1 を Pk を用いて表そ うとすると Pht1 = th+1+ 1 th+1 (n=1,2,3,…) とおくとき, Pnはxのn次 (香川大) == (1) 数学的帰納法で示す。 \2 (I) P₁ = t + 1 = x₁ P₁= 1² + 1/2 = (t + + ) ² -2 よって,n=1,2のときは成立する. Me 329 解法のプロセス (1)n=k, k-1での成立を仮 定し :=xPk-Pk-1 となり, PkとPk-1 についての成立の仮定が必要 になります.したがって, 第1段階目ではn=1,2 での成立を示さなければなりません. (2)結論を推定し,それを数学的帰納法で確か (1) P.Pe...., Pe-1, Pe, Pery めるというタイプの典型的な問題です. (I) (II) 与えられた関係式から am +1 を求めようとする と, ak について k=1,2,3,..., m までの情報 がないと αm+1 の項を求めることはできません. 第2段階目の証明ではk=1,2,3,.., m で の成立を仮定する必要があります. 解答 (* 九州産大) ↓ n=k+1 での成立を示す (2) n=1, 2, ...mでの成立 を仮定し 凸 n=m+1での成立を示す = x^² - 2 (I) (ⅡI) (2) (P1, P2, ..., Pki, Pk+1 (II)n=k, k-1のときの成立を仮定すると、 すなわち, Pk, Pk-1 がそれぞれのk次式, (k-1) 次式である と仮定すると 第8章

6→7の反応で、濃硝酸を加えることでCuSからCu2+になっているのはどんな反応なのですか？

Na+ [Ag, Pb²+, Cu²+, Fe3+, Al3+, Zn²+, Ca²+, 1 沈殿 溶液② 熱湯に溶かす 沈殿 4 K2CrO4(g) を加える 1 希塩酸を加える 過剰の NH3(aq) を加える 沈殿 3 溶液 ⑤ う 溶液Cu²+, Fe3+, Al3+, Zn²+, Ca²+, Na 2H2S(気)を通じ 沈殿 ⑥ 溶液7 濃硝酸 を加える 過剰の 溶液 ⑨ NH3(aq) を加える 溶液 ⑧ 13A4 沈殿 1 kad sun & tans 3 264 沈殿 13-√*10* S PHAYN Ca²+, Na+ (11) (13) (14) 16 ① Al(OH)3 18 Fe(OH)3 ↓ 溶液 13 希塩酸 を加える MROCKY 18 本 過剰のNaOH (aq) 4 H2S(気)を通じを加えるLOV 1gです 5 溶液 14 う 溶液 11 溶液 16 ②1 溶液を煮沸する ② 硝酸を加える 1. CO 7 Cu²+⑧ [Cu(NH3)4]2+ 3 過剰のNH3(aq) を加える 1.15 沈殿 15 中 (NH4)2CO3(aq) 希塩酸 を加える翼を少量加える 沈殿 17 溶液 19 □ 答え ① AgCl. PbCl2+ (2) (3) PbCrO4 AgCl↓ ⑤ [Ag (NH3)2] 変化⑥ Cus! 塩酸で酸性になっている水溶液にH2Sを通じているから. 酸性下でも沈殿する硫化物だけが沈殿する > 参照 p.75 が右に K4[Fe(CN)6] (aq) を加える 黄色沈殿 20 BAS Pb2+PbCl2は熱湯には溶ける 希塩酸 を加える C⑨ Ca²+ Na+, [Zn (NH3)4]2+ Zn²+はNH』と配位結合して錯イオン を形成する 参照 ハ 味方 Xa られる反応です S ⑩0 ZnSNH3 水で塩基性になっている水溶液にH2Sを通じているから, 中塩基性下なら沈殿するZnSも沈殿する 参照 p.75 12 CaCO3 202H MA 00 [Al(OH)4] AI (OH)3は両性水酸化物 $02 [Al(OH)4] +H+-Al(OH)3+H2Oが起こる [Al(OH 19 Ca²+弱酸(H2CO3) 遊離反応: CaCO3+2HCI→CO2+H2O+ CaCl2 Na+ 炎色反応は黄色 15 Fe(OH)3, Al(OH)3 02 S apk 1068& Fe3+中和反応: Fe(OH)3 +3HCI→ • FeCl3+3H2O 1.0268 68

この問題の⑵で、なぜx1^p+x2^p+...をひくと単項式の係数になるのかなどが分かりません 教えてください🙇‍♂️ お願いします🙇‍♂️🙇‍♂️

3-2 は素数, rは正の整数とする. 以下の問いに答えよ. (1) 1,2,… についての式(x+x^2+..+xr) を展開したときの単項式 x₁¹x2² p2...... xyr の係数を求めよ. ここで, P1, P2, ..., brは0または正の整数でi+p2+..+ pr=p をみた すとする. (2) 1,2,.., I が正の整数のとき, (3) (x₁+x₂+...+xr) — (x₁+x₂²+...+x₂²³) はpで割り切れることを示せ. 0+"S はかで割り切れないとする. このとき, rp-1-1はかで割り切れること を示せ (大阪大)

x=2a/3なので、 b≦2a/3くaですよね？ なぜb≧2a/3の時なども調べるのですか？ 教えてください🙏

[107] 図形の最大 最小 (2) 半径がα, 底の半径がb (a>b), 深さがんの円錐台をなしている. このコッ プに半径が高さがんより大きい直円柱のガラス棒をその底面が水平にな るように沈めるとき,排除される水の量 V が最大となるようなxを求めよ. (広島大) 精講 xの動く範囲は0<x<a ですが, 0<x≦b においてVが最大となる のは明らかにx=6のときなので, b≦x<a の 範囲でのVの最大値を考えれば十分です. ガラス棒の半径xが与えられれば、ガラス棒と コップがどの位置で触れるか決まります。 すなわち,ガラス棒の水に沈んだ部分の長さは rで表すことができます.これにより,排除され る水の量 V=x²x (ガラス棒の水に沈んだ長さ) はxの関数として表されます. このあとは,Vをxで微分します. 増減表をか くときに, 極値となるxが定義域 b≦x<a 内に あるか否かの場合分けが必要になります. y a-x 解答 0<x≦b のとき,Vは単調増加であり,Vは z=bで最大となる.したがって, b≦x<a で考 えれば十分である. ガラス棒の水に沈んだ部分の長さをyとすれば, 右図で,△APQS △ABC から h a-b .. y=a-xh a-b 解法のプロセス Th :: V = πx²y=-6x² (a-x) ここで、f(x)=x(a-x) とおくと f'(x)=2ax-3.x²=3x-3 2a 3x (2ª - x) 241 水に沈んだガラス棒の長さを で表し ↓ Vをxの関数として表す ↓ V の極値となるが定義域 b≦x<a の内にあるか否かで場合分けす る A/QC P -x- B b y=f'(x) 02a 3 SOT a 第6章 x

（2）の問題ですが、⑴で出た答え以外。として、答えを出すのは不十分なのでしょうか。

.28 第2章 高次方程式 Think 例題64 3次方程式と実数解 αを実数の定数とする. 3次方程式x+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3=0 について 次の問いに答えよ. (1) 重解をもつように,定数aの値を定め、そのときの重解を求めよ、 (2) 異なる3つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ [考え方 まずは、次数の最も低いα について整理し、3 *) 0 xの1次式)×(xの2次式) P(x) はーー 252310 の形に因数分解する. (1) 2次方程式の解が, 1次方程式の解を含む」場合と,2次方程式が重解をい (2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもち、かつ2次方程式の解が1次方程式 場合の2通りが考えられる. x)/(E を含まない場合である. Pk8- 解答 (1) f(x)=x2+(a-1)x+(a−3)x-2a+3 と する. J+x81- a について整理すると,z+ f(x)=x2+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3 =(x²+x-2)a+x³-x²-3x +3 =(x-1){(x+2)a+x°-3} =(x-1)(x2+ax+2a-3) -3(x-1) より, f(x) は x-1 を因数に 1枚分解平は もつ. ご教の低い文字で//=(x+2)(x-1)a+x2(x-1)^-1d0+(a-3)・1-2a+3 これを利用して因数分解して よい. 「組立除法 (+508 +S) 11 a-1a-3-2a+3 a 20-3 f(x)=0 とすると, x-1=0 または x2+ax+2a-3=0 したがって, f(x)=0が重解をもつのは, 次の2通りの場合である。 (i)x+ax+2a-3=0 が x=1 を解 にもつ (i)x+ax+2a-3=0が重解をもつ (i)のとき,x=1 が解であるから 1'+α・1+2a-3=0 より, a=- 2014 D=a²-4(2a-3)) p =a²-8a+12 =(a-2)(a-6) したがって £), a=2, 6 重解はx=-- 32 (Ⅱ) のとき、x2+ax+2a-3=0 の判別式を Dとすると、重解をもつので、D=0である。 77 (-2)(46)=0 a 2 より, 次数の低い文字で整理して a a=2のとき a=6のとき, 数分解する. f(1)=13+(a-1)・12 x=-1 x=-3 ²SC 1 IS-₂0 1=5 1&V+S=x1 1 a -dp4 x=1 が重解 残りの解は、 2 84-206 (x-1)x+ 5000+ - 0 を解いて 3 20-1 +8 √(x + 3) = 18-9085 よ より、メー り (S=4510082 0=0 10 (+S) 3010 max²+bx+c=0 ( a = 0) 4th b をもつとき、x=- 2a のの重解を求める。 a=2,a=6のそれぞ

命題 練習の(1)の問題の証明ってこれでもいいですか？(3枚目　　　

の形の 命題の対偶は 解答 「a, bがともに3の倍数でないならば, abは3の倍数でない」 である。 a,bがともに3の倍数でないとき、3で割ったときの余りはそ れぞれ1または2であるから, k, lを整数とすると a=3k+1 または a=3k+2 と表せる。 b=3l+1 または b=3l+2 [1] a=3k+1, b=3l+1 のとき ab=(3k+1)(3+1)=3 (3kl+k+1)+1 3kl+k+1は整数であるから, abは3の倍数でない。 [2] a=3k+1, b=3l+2のとき ab=(3k+1)(31+2)=3 (3kl+2k+1)+2 3kl+2k+1は整数であるから αbは3の倍数でない。 [3] α=3k+2, b=3l+1のとき ab=(3k+2)(3l+1)=3(3kl+k+21)+2ことに不 3kl+k+2lは整数であるから, abは3の倍数でない。 [4] α=3k+2, b=3l+2 のとき ab=(3k+2)(3l+2)=3(3kl+2k+2l+1)+13 3kl+2k +21+1は整数であるから abは3の倍数でない。 [1]~[4] により, 対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 164 ...... 2 I α またはbは3の 倍数である」 の否定 は、「αは3の倍数 でないかつbは3の 倍数でない」 である。 α=3k±1,b=3/±1 とおいて進めること もできる。 3× (整数)+1の形 の数は、3で割った 余りが1の数で 3 の倍数ではない。 間接証明法を使う見極め方 検討 間接証明法 (対偶を利用した証明, 背理法) が有効かどうかは、 命題の結論から見極める とよい。 特に, 結論が次のような場合は, 間接証明法を検討するとよい。 ① ● または■｣ 「少なくとも1つは●」....･･ ｢かつ」 などの条件から出発できる ② 「●でない」, 「■」 「●である」 などの、 肯定的な条件から出発できる。 (90) 習 対偶を考えることにより、 次の命題を証明せよ。 ただし, a, b, cは整数とする。 50 (1) a²+b2+cが偶数ならば, a,b,cのうち少なくとも1つは偶数である。 128 ~21 221

横浜国立大学2019年度数学第3問です。 微積の問題ですが、解答(写真3枚目)の ②の下の部分(だから②を満たす〜)が理解できません よろしくお願いします🙇

横浜国立大文系前期 2019年度 数学 13 3実数a に対し,xy平面上の曲線y=x-axをCとする。 C上の異なる2点 Pi, P2 と,2つの直線l1,l2 があり,k=1,2に対して以下の条件をみたして いる｡ (i) Pk のx座標は正である。 (ii) lkはPkを通り,さらにPにおけるCの接線と直交する。 (& OSD) (ii) lk は Ph以外の点でCと接する。 次の問いに答えよ。 (1) α のとり得る値の範囲を求めよ。 nidt folgo05 (2) k=1,2に対して, Chlによって囲まれる部分の面積をSkとする。 S + S2をaの式で表せ。 お店 AAN*# 2409-13 (noitubab) 105 050AROROJ1-08 x 081 #(, +5) *****-.84*** Golbat) ******* *823-1-1 .849087-JOEN * >**(guinoesen is jo

下線部のことで質問です。 なぜ恣意的にpに-をつけてよいのですか？ 私はこう考えたのですが間違えてますかね...

方程式への応用(2) (p+8=\$5X{p+6−bas-)= 3次方程式x+3px+q=0(p,q は実数)において, D=4+q² とす 期間 10g るとき, この方程式の解について,次のことを示せ . [D<0ならば、 異なる3つの実数解をもつ. D=0 ならば, 解のすべては実数解であり, 重解をもつ [D>0ならば,1つの実数解と異なる2つの虚数解をもつ。 ,精講 をかき,x軸との共有点の状態を調べればよく, 極値をもつときは IC 3次方程式x+3px+q=0の解は 3次関数y=x+3px+q のグラフ 極値の符号 を調べることにより,x軸との共有点の状態がわ かります.したがって,本間はまず 極値をもつかどうか f'(x) + f(x) で場合分けをします.y'=3(x+p)ですから, D≧0のときは極値をもたないのですが,本間の に対して, p>0のときは,D=4p+g²>0 と 定符号ですが, p=0 のときはD=g2≧0 となり,1 Dの符号が正であったり,0だったりしますので, p=0 は別扱いとします. p<0 のときは極値をもち,このときは,さら に (極大値)×(極小値) の符号で場合分けするこ とになります. K f(x)=x+3px+q とお く. f'(x)=3x²+3p (i) p<0 のとき,f'(x)=0はx=±√-p を解に STTUN もつ。 154 1-√√-p 0 T 解法のプロセス √-p 0 3次方程式の解の状態 + 3次関数のグラフをかき,エ 軸との共有点を調べる ♫ f'(x) を計算 ↓ 極値をもつかどうか, 極値の符号はどうか で場合分けする 解答 <.40** 245 JE HE 0=5+10+10+1 Sti 100+50 図1 And -√-P O !