初めての質問なので、不手際があればすみません。 数Ⅲの連続と微分可能についての問題について質問です。 解答の「次に」から始まる箇所からx＝0で微分可能かどうか調べている訳ですが、セオリーというか定義通りにいけばh→+0とh→-0の2通りに分けて考えると思うのですがここではh... Read More

題 150 連続と微分可能 「代の 1 *sin-(xキ0) 関数 f(x)= 0 x は,x=0 で連続か.また,x=0 で (x=0) 微分可能か、 (連続) f(x) が x=a で連続 limf(x)=f(a) 〈微分可能) f(x)が x=a で微分可能 f(a)=limf(ath)-f(a) h x→a h→0 が存在する このとき,「微分可能であれば連続」であるが,「連続であっても,微分可能とは限らな い」ことに注意する。 xキ0 で 0Ssin S1, x>0 より, 解答 | lim f(x)=f(0)であるか確 ズ→0 'sin Sx? かめて,x=0 で連続かど うか調べる。 |x>0 より,各辺にx°を 掛けても,不等号の向きは 変わらない。 各辺をx→0として極限 をとり,はさみうちの原理 を利用する。 0S limx=0 より, lim x°sin- x→0 x→0 したがって, lim f(x)=limx'sin-=0 x→0 x→0 x f(0)=0 より, limf(x)=f(0) となり, 関数f(x) は x=0 で連続である。 f(0+h)-f(0) \'らまてめ 5ゃってる (保全上?) x→0 次に、 lim h x=0 で微分可能かどうか h→0 調べる。 1 h'sin -ー h Y4 Thtりe 0こくなる 0shsin- Sl limla-0 より,①は、 =lim h |y=f(x) h→0 1 =limhsin h h→0 h→0 1 h th7arの07-中定め limhsin- =0 h→0 よって,f"(0) が存在するので、 関数 f(x) は x=0 で微分可能である。 F(0)=0 )x=a で連続であることとは別に x=a で微分可能であることを示す必要がある。

なぜ｢(1)(2)より、関数f(x)はx=1以外では連続である｣と言えるのでしょうか？

関数x)=[x"]がオ3D0で連続か不連続かを調べよ。 AL。 また,x=1で連続か不連続かを調べよ。 228→ 224 [連続関数]次の関数の定義域をいえ。また. 定義城で連続かどうかを調 べよ。 (1) f(x)=xlogax" (2) f(x)= x-1 229→ x-1 [関数の連続性3] nが自然数のとき, 次の式で定められる関数八)か x20であるすべてのrで連結レたフ 225

(2)が分からないです。 2枚目がその解説なのですが、マーカーを引いた部分が理解できないのでその部分の解説をお願い致します。

2 258 関数f(x) が次の条件を満たすような定数 a, b, cの値を求めよ。 ax? + bx+c lim f(x) = 3, 1limf(x) =D2 ニ x+2 X→0 X→2 (2 f(x) = Vx°+a+bx+c, lim f(x) =D 2, limf(x) = 3 X→0 X→2 G

数学III関数の連続性です。 この問題では右、左側極限の一致を調べないのはなぜですか？

ゆえに,関数f(x) は x=1 で微分可能 Te+IV よって,f(x) は x=0 で微分可能である。 よって カ→0 ゆ 存 x 281 (1) 0< sin- し 0s|x'sin s? X 282 alゴ-0であるから sin|-0 0-14 limx'sin x→0 オー0 -20-10 1 limx'sin- ズ→0 0= 0) 三 -2h すなわち x よって, limf(x)=0=f(0) となるから, f(x) Lo0 x→0 je+H はx=0 で連続である。 f(0+h)-f(0) h f(h) = lim また lim h→0 h→0 h のときト h'sin- 1 1 : lim hsin h h =lim ニ h→0 h h→0 0S| sin- <1であるから h 1 G8ntal 0< hsin- |<IA| h lim||=0 であるから h→0 80) 1 =0 h lim hsin h→0 (10) 1 =0 lim hsin h すなわち 2 h→0 したがって f(0+h)-f(0) lim h 0= h→0

⑸の質問です。 解答の2行目に、写真3枚目のようになると書かれていますが(limを上手く文字で伝えられないので書きました💦)、よく分かりません。 [2x]=[2×1]=2となると思ったのですが… 教えてください！

2271 次の関数について, [ ] 内の点における連続性を調べよ。 ただし, [x] はxを 超えない最大の整数を表す。 290 (2) f(x) = [x]-2 [x=1] ニ (3) f(x) = [x = 3] (4)* f(x) =D 2xー [x] [x=1] 08S x (5)* f(x) = [2x]- [x] [x=1] (6)* f(x) = [|cos.x|] 「r=0

どうして傍線部の部分を求める必要があるのですか？

このとき,「微分可能であれば連続」であるが、 「連続であっても、 微分可能とは限らな 同数 (x)-/sin 0 (x*0) は、x=0 で連続か、 また, x=0で (x=0) 分可能か。 (連続) (x) がx=a で連続 limf(x)=f(a) く微分可能) 『(x)がx=aで微分可能 →f(a)=lim/a+h)-f(a) 日 が存在する h い」ことに注意する。 : 04ain 0=sin|s x*>0 より、 lim f(x)=Df(0) であるか確 lim.r=0 より, したがって, lim/(x)-1limr'sin!-0 f(0)=0 より,lim/(x)= f(0) となり。 関数f(x)は x=0 で連続である。 かめて、x=0 で連続かど うか調べる。 x>0 より、 各辺にxを 掛けても、不等号の向きは 変わらない。 各辺をx→0として極限 をとり、はさみうちの原理 を利用する。 limx*sin エー0 0-4 f(0+h)-f(0) lim ズ=0 で微分可能かとうか 調べる。 次に、 h h→0 1 h°sin テ-0 h h Y4 =lim |y=f(x) h→0 agnh 1 =limhsin h h→0 0sasin- S, limlカ|=0 より, ①は, h→0 limhsinー=0 h→0 よって、f(0)が存在するので, 関数子(x)は x=0 で微分可能である。 『(0)=0 値O可能であることを示す必要がある。

なぜ-∞になるのかわかりません。解説お願いします

Limfcz)=(tm ((ogス-ス10ge) 2700 im ftz}a 2-700 2 TW。 toog 2-7t0

e底の数の増減の調べ方が分かりません… y'で考えた時+ -が逆になってしまったんですけど原因がわかりません💦教えてください！

よって,yの増減, グラフの凹凸は, 次の表のようになる。 例題 関数 y=e-2r°のグラフの概形をかけ。 8 =-4(e-2r+x(-4xe~2"')}=D4(4x3-1)e-2x" 1 y"=0 とすると x3±- 2 ア=e-".(-2r")'=14xe-2+ ア=0 とするとx=0, 1 1 0 2 x 2 0 y 0 0 変曲点 変曲点 極大 y 1 1 Ve Je f(x)=e-2" とすると, この関数はf(ーx)=f(x) を満たして いるから,グラフはy軸に関して対称である。 更に limf(x)= lim f(x)=0 X→0 X→-0 であるから, x 軸はこの曲線の 漸近線である。 1 以上により,グラフの概形は Te X 0 2 1 1 右の図のようになる。 2 |o

(2)が分かりません。 2枚目の写真のところからlimに3をかけるところになる計算が分かりません。 教えてくださいm(_ _)m

268 補充例題 179 関数の極限値と微分係数 O0000 (1) 次の極限値を求めよ。 +8 (ア) lim オーー2オ+2 【湘南工科大)()lim x→ー3 x+x-6 ーxー12 (a+3h)-S(a) h をf(a)で表せ。 (2)極限値 lim A→0 Ap.254 基本事項し CHARTOSOLUTION 関数の極限値 limf(x) 0 基本はxにaを代入, となるときは約分 『(a+k)-f(a) =Df(a) も利用できる lim 一0 (1) (7) そのままxに-2を代入すると,分母·分子ともに0になる。 よって,分母·分子とも x+2 を因数にもつ(因数定理)ので, x+2 で約分」 てから代入する。()も同様。 (2) カ→0のとき 3h→0 だからといって(与式)=f (a) は誤り! 3h=k とおいて,微分係数の定義を利用する。 解答 2(1) (7) lim +8 (x+2)(x-2x+4) =lim lim (x°-2x+4)=x→-2 とは、xが -2以外の値をとりなが ら-2に近づくこと。 よって,xキー2である エー-2 オ+2 x+2 x→-2 =(-2)-2-(-2)+4=12 (x+3)(x-2) x+x-6 (イ) lim メー-3xーxー12 lim x-2 lim オー-3X~4 から、分母·分子をx+2 -3-2_5 -3-47 で割って約分してよい。 (2) 34=k とおくと, h→0のとき,ん→0であるから S(a+k)-f(a) k *慣れてきたらおき換え S(a+3h)-f(a) をせずに lim -=lim と→0 (与式) fla+3h)-fla) 3h 3 =lim3 Latk)-1(a) ーMの)-1lim Ma+k)-1la) h-0 =lim3 -3lim k→0 -3(a) としてよい。 k =3/(a)

丸したところから丸したところへの途中式を解説お願いします🙇🏻‍♀️

(2) 微分係数の定義の式 f'(a)=1im (a+h)-f(a)が使えるように,式を変形する。 IP.296 基本事項D, 基本 12 OO0% 300 重要 例題190 関数の極限値(係数決定 微分係数利用) 基る x+ax+6_3を満たす定数a, bの値を求めよ。 x-1 次く (1) 等式 lim x→1 をf(a)を用いて表せ。 る接 f(a-3h)-f(a) (2) lim h h→0 (3 k (kキ0)ならは 0 在するためには,分子x°+ax+b→0でなければならな い(数学IIの内容)。一般に f(x) 指針> (1) x一→1のとき, 分母x-1→0であるから,極限値が存 lim 存在せず 指査 lim q()。 =« かつ limg(x)=0 なら limf(x)=0 必要条件 x→e →C まず,分子 →0から, aともの関係式を導く。 次に,極限値を計算して,それが==3となる条件から,a, bの値を求める。 h h→0 E 解答 (1) lim(x-1)=0 であるから lim(x°+ax+b)=0 4必要条件。 x→1 x→1 IS- ゆえに 1+a+b=0 よって b=-a-1 の 注意 必要条件である 6=-a-1 このとき x2+ax+b lim x2+ax-a-1 =lim を代入して(極限値)=3が成 り立つようなa, bの値を求 めているから x-1 x-1 x→1 X→I Tx-1)(x+a+I) =lim x→1 =lim(x+a+1) x-1 x→1 =a+2 a=1, 6=-2 は必要十分条件である。 a+2=3 から a=1 のから 6=-2 (2) h→0のとき, -3h→0であるから f(a-3h)-f(a) lim fla+(-3h)}-f(a) =lim f(a+口)-f(a) h→0 h→0 h h→0 =f(a) (-3) =-3f(a) 別解 -3h=tとおくと, h→0のときt→0であるから f(att)-f(a) =S(a) ロは同じ式で、 h→0のときロー ロの部分を同じものにする ために, .(-3) |している。h→0のとき (与式)=lim f(a+t)-f(a) のような変形を =lim t→0 t→0 3h→0だからといって, (与式)=f(a)としては誤 3 十 =-3f"(a) り! こ