基本
例題
163 図形の分割と面積 (1)
次のような四角形ABCD の面積Sを求めよ。18-8A
0000
(
(1) 平行四辺形ABCD で, 対角線の交点を0とすると
AC=10, BD=6√2,∠AOD=135°
(2) AD/BCの台形ABCD で, AB=5, BC=8, BD=7,∠A=120°
指針
p.265 基本事項 2 基本 162
四角形の面積を求める問題は, 対角線で2つの三角形に分割して考える。
(1)平行四辺形は,対角線で合同な2つの三角形に分割されるから S=2△ABD
また, BO=DOから AABD = 2△OAD よって, まず △OAD の面積を求める
(2)(台形の面積)=(上下底)×(高さ)÷2 が使えるように,上底 AD の長さと高
さを求める。 まず, △ABD (2辺と1角が既知) において余弦定理を適用。
CHART 四角形の問題 対角線で2つの三角形に分割
(*) △OAB △OAD は,
(1) 平行四辺形の対角線は,互いに他を2等分するから
解答
OA=1/2AC=5,
それぞれの底辺を OB,
A
D
135°
OD=
D=12BD=3√2
ゆえに
0
√2 2
=30
OD とみると,OBOD で,
高さが同じであるから,そ
の面積も等しい。
【参考】下の図の平行四辺形
の面積Sは
S=1/A
B
AOAD
=
2
10 OA・OD sin 135° 1/12・5・3√2.1/2
15
=
15
よって
S=2△ABD=2・2△OAD(*) =4•
2
(2) △ABD において, 余弦定理により
72=52+AD2-2・5・AD cos 120°
A
D
T120°
5
7
ゆえに
AD2+5AD-24=0
B
よって (AD-3) (AD+8)=0
AD> 0 であるから AD=3
BH
8
A
・AC・BDsin 0
[練習 163 (2) 参照]
0
D
頂点 A から辺BC に垂線 AH を引くと
AH=ABsin∠ABH,
∠ABH=180°∠BAD=60°
S=1/2(AD+BC)AH
よって
=1/12(38) 5sin60
(3+8) ・5sin 60°=
55√3
DA-A
AD // BC
(上下)×(高さ)÷2
