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基本 56 剰余の定理利用による余りの問題 (2)
多項式P(x)をx+1で割ると余りが2x3x+2で割ると余りが3x+7
であるという。このとき,P(x) を (x+1)(x-1)(x-2) で割った余りを求めよ。
指針 例題 55と同様に、割り算の等式 A=BQ+R を利用する。
基本55 重要 57
3次式で割ったときの余りは2次以下であるから,R=ax2+bx+cとおける。
問題の条件から、このα, b, c の値を決定しようと考える。
[別解] 前ページの別解のように, 文字を減らす方針。 P(x) を (x+1)(x-1)(x-2)
で割ったときの余りを、更にx3x+2 すなわち (x-1)(x-2)で割った余りを考
える。
......
①
3次式で割った余りは,2
次以下の多項式または定
数。
P(x) を (x+1)(x-1)(x-2) で割ったときの商をQ(x),
解答 余りをax+bx+c とすると,次の等式が成り立つ。
P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+ax2+bx+c
ここで,P(x) をx+1で割ると余りは2であるから
②
P(-1)=-2
また,P(x) をx3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割った
ときの商をQ(x) とすると
<B=0 を考えて
x=-1, 1, 2
を代入し, a,b,cの値
を求める手掛かりを見つ
ける
解答
(2)
指
ゆえに P(1)=4
******
P(x)=(x-1)(x-2)Qi(x)-3x+7
3,
P(2)=1
......
④
よって, ①と②~④より
a-b+c=-2,a+b+c=4,4a+26+c=1
この連立方程式を解くと
a=-2,b=3,c=3
したがって, 求める余りは
2x2+3x+3
別解 [上の解答の等式① までは同じ]
x2-3x+2=(x-1)(x-2) であるから,
(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)はx2-3x+2で割り切れる。
ゆえに,P(x) をx2-3x+2で割ったときの余りは,
ax2+bx+cをx2-3x+2で割ったときの余りと等しい。
P(x) を x2-3x+2で割ると余りは-3x+7であるから
ax2+bx+c=a(x2-3x+2)-3x+7
よって, 等式①は,次のように表される。
P(x)=(x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+α(x²-3x+2)-3x+7
したがって P(-1)=6a+10
P(-1) =-2であるから
6a+10=-2
よって
a=-2
8+x=2+01
求める余りは-2(x^2-3x+2)-3x+7=-2x2+3x+3
(第2式) (第1式) から
266 すなわち 6=3
この解法は、下の練習 56
を解くときに有効。
ax2+bx+c を
x2-3x+2で割ったとき
の余りをR(x) とすると
商は αであるから
= (x+1)(x-1)(x-2)Q(x)
P(x)=(x)9
+α(x2-3x+2)+R(x)
=(x2-3x+2)
×{(x+1)Q(x)+α}+R(s)
多項式 P(x) を (x-1)(x+2) で割った余りが7x, x-3で割った余りが1であると
③ 56 き,P(x) を (x-1)(x+2) (x-3) で割った余りを求めよ。
【千葉工大)
67.38
練習
$57
