演習
が引けるための条件 (1)
341
00000
|曲線C:y=x+3x2+x と点A(1, α) がある。 Aを通ってCに3本の接線が引
けるとき, 定数αの値の範囲を求めよ。
[類 北海道教育大 ]
基本218
曲線CA(1,α) を通る3本の接線が引ける
曲線C上の点(t, t+3t2+t)における接線が A を通るようなtの値が3つある
そこで, 曲線 C上の点(t, 13+3t2+t) における接線の方程式を求め、 これが点 (1,α)を
指針 3 次関数のグラフでは,接点が異なると接線が異なる(下の検討参照)から
通ることから,f(t) =αの形の等式を導く。
A
CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線 [接点] も別
解答
y=3x²+6x+1 であるから, 曲線C上の点(t, +32 +t) に
|おける接線の方程式はy (t+3t2+t)=(3+6t+1)(x-t)
すなわち y=(3t2+6t+1)x-23-32
この接線が点 (1, α) を通るとすると 2t+6t+1=α ... ① 定数を分離
f(t)=-263+6t+1とすると
YA
f(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1) 5
t=±1()
f(t) = 0 とすると t=±1
ft)の増減表は次のようになる。
t
f'(t)
f(t)
-1
1
- 0 + 20
極小
7
-3
|[極大]
5
y=a
-10!
f(-1)=2-6+1=-3,
1
t
-3
ly=f(t)
f(1)=-2+6+1=5
3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線が異なるから,
の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつとき, 点Aか
曲線Cに3本の接線が引ける。
したがって、曲線 y=f(t) と直線y=α が異なる3点で交わる
条件を求めて
-3<a<5
①の実数解は曲線
y=f(t) と直線y=aとの
共有点の座標。
8
