2 次の問いに答えなさい。
□ (3) n を正の整数とします。 n + 2n +2を3でわった余りは、
2であることを証明しなさい。
(証明技能)
解説 《整数の性質》
「解答」
n+2n+2を3でわった余りが2であることを証明するには,
㎡ +2n +2が3×(整数) +2という形で表されることを示せ
ばよいので,nを3でわったときの余りで場合分けをします。
① 余りが0のとき
n =3m (mは整数)と表せる。
このとき,
n3 +2n+2 = (3m)3 +2(3m) +2
|27m² +6m +2
= 3(9m³ + 2m) +2
= 3A + 2 (A は整数)
②余りが1のとき
n=3m+1 (mは整数)と表せる。
このとき,
n³ + 2n + 2 = ([3m + 1])³ + 2 ([3m + 1) + 2
mun
27m² +27m² + 9m +1 +6m +2 + 2
27m² +27m² + 15m +5
=3(9m² +9m² + 5m + 1 ) + 2
= 3B + 2 (Bは整数)
=
余りが2のとき
n =3m+2(mは整数)と表せる。
このとき,
n3 +2n + 2 = (3m +23+2 (3m +2) + 2
23
第3回 解説・解答
27m³ +54m²+36m + 8 + 6m +4+2
