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例題36
x, yの2次式の因数分解 S
(1) yについての2次式9y°-12y+16-4k が完全平方式となるような,
実数の定数kの値を求めよ。
2x°+ xy-2y°+ 4x+5y+kがx, yの1次式の積となるように定数k
の値を定め,x,yの1次式の積の形で表せ。
完全平方式…(整式)°の形で表すことができる整式
= (x+Oy+△) (x+ロッ+▽) (*) となってほしい。
《CAction 2次式の因数分解は, 2次方程式の解を利用せよ
例題35
1つの文字に着目
xに着目すると
= x°+(y+4)x- (2y?-5y-k)
xについての方程式
の解 x= [yの式],yの式
= (x- Lyの式」)(x-[yの式」)
と因数分解される。
→ (*)のようになるのは, どのような解をもつときか?
解(1) 9y?-12y+16-4k=0 の判別式を Dとすると,左辺
が完全平方式となるための条件は
ay? + by +cが完全平方
式となる。
→ ay°+by+c=0 が
重解をもつ。
→判別式 D=0
D= 0
D
=(-6)?-9(16-4k) = 36k-108
4
36k- 108 = 0 より
k=3
(2) x°+xy-2y+ 4x+5y+k=0 とおいて, x についてい
x°+(y+4)x-(2y°-5y-k) = 0
ニッー4±VD
整理すると
例題
xについて解くと
x=
35
D,= (y+4)°+4(2y°-5y-k) は8次方
D、 はこのx についての
2次方程式の判別式であ
ただし
= 9y°-12y+16-4k Sでき e
る。
よって
+(y+4)x-(2y-5yーk)ると D20
ーリー4+VD
エメー4-D
Aax + bx+c==0 の解を
a, Bとすると
ax° + bx +c
三
x
x
2
2
これがx, yの1次式の積となるための条件は, Dがy
についての完全平方式となることである。
このとき,(1)より k=3
k=3 のとき,D, = (3y-2)° であるから
x°+(y+4)x-(2y° -5y-3)
ーyー4+(3y-2)
= a(x-a)(x-B)
k=3 のとき
D、%3D9y?-12y+16-4k
= 9y°-12y+4
= (3y-2)?
ニyー4-(3y-2) ]
2
2
= {x-(y-3)}{xー(-2y-1)}
= (x-y+3)(x+2y+1)
練習36 15x°+2.xy-y°+2kx+kがx, yの1次式の積となるように定数kの値を定
め,x, yの1次式の積の形で表せ。 ただし, kは kキ0 の実数とする。
69
→ p.76 問題36
ー章|32次方程式
思考のプロセス|
