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Mathematics Senior High

中央の値というのはどこからわかるのでしょうか?

124 第5章 微分法 基礎問 69 増減・極値 (I) f(x)=-x+α(x-2)2 (a>0) について, 次の問いに答えよ。 (1) f(x)が極小値をもつようなαの値の範囲を求めよ。 (2) (1)のとき極小値を与えるxを とすれば, 2<x<3 が成りたつこ 精講 とを示せ 4次関数の微分は,技術的には,数学Ⅱの微分の考え方と差はあり ません。 (1) 4次関数 (x^ の係数 <0) が極小値をも つとはどういうことでしょうか? とりあえず、f'(x)=0 をみたすx が存在しないと いけませんが,y=f(x) のグラフを想像すると右図 のような形が題意に適するようです. 極大 - 極大 - N 平 X1 -極小 ということは,極大値を2つもつ必要もありそうです. このことから、次 のことがいえそうです. f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつ実 ⅡB ベク (2)=x1 はf'(x) = 0 の3つの解を小さい順に並べたときの中央の値にな りますが, 方程式の解が特定の範囲に存在することを示すとき, グラフを利 用します. (I・A46解の配置) 解答 (1) f'(x)=-4°+2a(x-2)=g(x) とおく. かたむき f(x)が極小値をもつとき, g(x)=0 は異なる3つの実数解をもつ。 g'(x)=-12x2+2a=0 を解くと 一 a x=± (a>0より) aia (12)\ (1) g(x)において,(極大値)(極小値) <0であればよいので 4a 3V 6 a 4a -4a -4a 3V 6

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(2)黄色マーカーで示したところが‪√‬6/8πにならないです。指摘お願いします。

280 重要 例題 172 正四面体と球 1辺の長さがαである正四面体 ABCD がある。 (1) 正四面体 ABCD に外接する球の半径R を a を用いて表せ。 (2)(1) の半径Rの球と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。 (3) 正四面体 ABCD に内接する球の半径rをαを用いて表せ。 (4)(3)の半径rの球と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。 指針 (1) 頂点Aから底面 ABCD に垂線 AH を下ろす。 外接する球の中心を0とすると, OA=OB=OC=OD (=R) である。 また, 直線AH上の点Pに対して、 PB=PC=PD であるから, 0は直線AH 上にある。 よって, 直角三角形 OBH に着目して考える。 (2) 半径Rの球の体積は 1/2 (3) 内接する球の中心をI とすると, Iから正四面体 の各面に下ろした垂線の長さは等しい。 正四面体を Iを頂点とする4つの合同な四面体に分けると (正四面体 ABCDの体積)=4×(四面体 IBCD の体積) これから半径を求める 00000 基本 167 170 D B (例題 167 (3) 三角形の内接円の半径を求めるとき, 三角形を3つに分け, 面積を利用したのと同様) C 解答 (1) 頂点Aから底面 ABCD に垂線AH を下ろし、 外接 する球の中心を0とすると, 0は線分AH上にあり OA=OB=R ゆえに OH=AH-OA=- -a-R √6 √√6 3 AH- a₁ 3 △OBH は直角三角形であるから, 三平方の定理により BH'+OH = OB2 a BH= よって()+(-"-R= 170 (1) の結果を 整理して α2- -aR=0 2√√6 3 ゆえに R= 3 √6 a=. a 2√6 4 (2) 正四面体 ABCD の体積をVとすると V= 8.D. <V= 12 また, 半径R の球の体積を V, とすると Vi=12TR √6 = π3 3 8 よって V1:V= na3: √6 /2 39: 2√3 8 12 170 (2) の結

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(5)答えが出ません。どこが間違っているか教えてください。

練習 AABC ② 167 (1) AB の長さ (4) 外接円の半径 (2) ∠Bの大きさ (5)内接円の半径 (3) △ABCの面積 (1)余弦定理により c2=a+b2-2abcos C =(1+√3)+22-4(1+√3) cos 60° =(4+2√3)+4-2(1+√3)=6 c=AB=√6 3/3 89 [類 奈良教育大] ← 2辺と1角がわかって > いるから,余弦定理を利 用。 c0 であるから (2) 余弦定理により COS B = c²+a²-b² 2ca ← 3辺がわかっているか ら、余弦定理を利用。 (+1) 4章 ( 練習 [図形と計量」 (√6)+(1+√3)-22 2√6(1+√3) 6+2/3 (S-1) 2/6(1+√3) √3 1 = = √6 √2 よって (3) △ABC の面積は B=45° -1)x+(x-1)) 46+2√3 =2/5(5+1) (>>0) (+220) 1/12absinC=1/12 (1+√3) 2sin 60° 3+√3 (4)外接円の半径をRとすると, 正弦定理により R= C √6 √6 = =√√2 2 sin C 2sin 60° √3 内接円の中心をI, 半径をrとすると, AABC=AIBC+AICA+AIAB であるから 1 ←casin B (5) -√6 (1+√3)sin 45° でもよい。 ←R= b 2 sin B 2 2 sin 45° でもよい。 3+ √3 = 1 ·(1+√3).r 2 2 A √6 2 r I r 2 B C 1+√3 +11·2·7+1.√6.r =3+√3+√6 2 r ←内接円の半径 ear →三角形の面積を利用 して求める。 なお, △ABCの面積は (3) 求めた。 3+√3 r= 2 2 1+√3 ←√3で約分。 3+√3+√6 1+√2+√3 (1+√3)(1+√2-√3) {(1+√2)+√3}{(1+√2)-√3} √2+√6-2_1+√3-√2 2√√2 2 S ←本冊 p.49 参照。 ← √2 で約分。

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