別解2についてです。 なぜ法5と3が互いに素でなければ3で割ることができないのでしょうか？ 御回答よろしくお願い致します。

562 基本 例題 137 1次不定方程式の応用問題 3で割ると2余り5で割ると3余り 7で割ると4余るような自然数nで最小 基本 135 136 のものを求めよ。 5で割ると3余る数のうち, 7でも3でも割り切れる数 は、7・35・4+1 の両辺を3倍して 3・7・3=3・5・4+3 指針 条件を満たす自然数を小さい順に書き上げると [1] 3で割ると2余る自然数は 7で割ると4余る数のうち, 3でも5でも割り切れる数 は, 3・57・2+1の両辺を4倍して 1.3で割ると2余る数のうち,5でも7でも割り切 5-7-3-11+2 れる数は 下線の数を見つけるため に、ここでは1余る数を もとにしているが、直ち 63 としてもよい。 そ の次の4・3・560も同様。 [2] 5で割ると3余る自然数は 3. 8. 13, 18, 23, ······ [3] 7で割ると4余る自然数は 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53. [1] [2] に共通な数はであるから,「3で割ると2余り5で割ると3余る」 自然数 最小数は8で3と5の最小公倍数 15ず つ大きくなる。 は [4] 8, 23, 38, 53, 68, 求める最小の自然数nは, [3] と [4] に共通な数 (口の数) 53であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが、条件を満たす数が簡単に見つか らない (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 そこで、問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみ よう。 4･3･5=4･7･2+4 したがって, 5・7+3・7・3+4・3・5=35+63+60=158は, 3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る 数である。 3, 5, 7の最小公倍数は105であるから, 求める自然数 nは n=158-105=53 別解2.3で割ると2余り, 5で割ると3余り 7で割ると 合同式を用いた解法。 4余る自然数をnとすると n=2 (mod3) ...... ①. n=3 (mod5) ... ②, n=4 (mod7) 563 ③ ①から n=3s+2 (s は整数) ・・・... ④ ④を② に代入して 3s+2=3 すなわち 3s=1 解答 nはx, y, zを整数として,次のように表される。 n=3x+2,n=5y+3, n=7z+4 注意 3x+2=5y+3から 3x-5y=1... ① x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1)=0 3x+2=5y+3 かつ 5y+3=7z+4と して解いてもよいが. 係 数が小さい方が処理しや すい。 1=6であるから 3s=6 法5と3は互いに素であるから s=2 (以上 mod 5) ゆえに, s=5t+2 (tは整数) と表され, ④に代入すると n=3(5t+2)+2=15t+8 ⑤ 3(x-2)=5(y-1) すなわち 3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5k と表される。 よって x=5k+2 ····.. ② ② を3x+2=7z+4に代入して このとき y=3k+1 ⑤を③に代入して 15t+84 すなわち 15t-4 14t=0であるから t=-4 (以上mod 7) ゆえに,t=7k-4(kは整数) と表され, ⑤ に代入すると n=15(7k-4)+8=105k-52 求める最小の自然数nは,k=1を代入して n=105・1-52=53 法5と3は互いに素であ るから, 両辺を3で割る ことができる。 15cm45 として、法と 15は互いに素であるか ら、両辺を15で割って 3とすることもでき る。 3(5k+2)+2=7z+4 <3x7z=2から ゆえに 7z-15k=4 ...... ③ 7・(-2)-15・(-1)=1 3(x-3)-7(z-1)=0 ゆえに、を整数として x=71+3 両辺に4を掛けて 検討 7・(-8)-15・(-4)=4 ...... ④ ③④から 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4) 7と15は互いに素であるから, lを整数として, z+8=151 と表される。 これとx=5k+2 を等置 して 5k+2=7/+3 よって 5k-77-1 これより1が求めら れるが, 方程式を解く手 間が1つ増える。 よって z=157-8 これをn=7z+4 に代入して n=7(151-8)+4=1051-52 求める最小の自然数nは,l=1を代入して n=53 <1054-52>0 とすると 52 1> 105 百五減算 ある人の年齢を3, 5, 7でそれぞれ割ったときの余りを a,b,c とし、n=70a+216+15e とする。 このnの値から105を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数が その人の年齢である。 これは3, 5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれる。 なお、この計算のようすは合同式を用いると、次のように示される。 求める数をxとすると, xa (mod 3), x=b (mod5) c (mod 7) であり, n=70a=1.4=qx (mod3) nm15cm1c=c=x (mod 7) =2101.60x(mod5), よって、nxは3でも5でも7でも割り切れるから, 3, 5, 7の最小公倍数 105で割り切れ る。ゆえに、を整数として, n-x=105kから n105 このkが105を引く回数である。 練習 3で割ると2余り, 5で割ると1余り、 11 で割ると5余る自然数のうちで、 ● ユークリッドの互法と1次不定方程式

別解1についてです。 全体的に何をしているのか分からなくて、特に ①なぜ3倍しているのか ②なぜ4倍しているのか ③どうして158から最小公倍数の105を引くと答えになるのか が分かりません。 どなたかお教え頂けますと幸いです。

563 562 基本 137 1次不定方程式の応用問題 3で割ると2余り,5で割ると3余り 7で割ると4余るような自然数nで最小 のものを求めよ。 基本 135 136 5で割ると3余る数のうち, 7でも3でも割り切れる数 は、7・3=5・4+1の両辺を3倍して 3・7・3=3・5・4+3 指針 条件を満たす自然数を小さい順に書き上げると [1] 3で割ると2余る自然数は [2] 5で割ると3余る自然数は 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 3. 8, 13, 18, 23, ······ [3] 7で割ると4余る自然数は 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53. 7で割ると4余る数のうち, 3でも5でも割り切れる数 は, 3・57・2+1の両辺を4倍して 1.3で割ると2余る数のうち,5でも7でも割り切 5-7-3-11+2 れる数は 下線の数を見つけるため に、ここでは1余る数を もとにしているが、直ち 63 としてもよい。そ の次の4・3・560も同様。 [1] [2] に共通な数はであるから、「3で割ると2余り5で割ると3余る」 自然数 [4] 8, 23, 38, 53. 68, 最小数は8で3と5の最小公倍数 15ず つ大きくなる。 は 求める最小の自然数nは, [3] と [4] に共通な数 (口の数) 53 であることがわかる。 このように、書き上げによって考える方法もあるが、条件を満たす数が簡単に見つか らない (相当多くの数の書き上げが必要な) 場合は非効率的である。 そこで、問題の条件を1次不定方程式に帰着させ、その解を求める方針で解いてみ よう。 4・3・5=4・7・2+4 したがって, 5・7+3・7・3+4・3・5=35+63+60=158は, 3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る 数である。 357の最小公倍数は105であるから, 求める自然数 n=158-105=53 nは 別解2.3で割ると2余り, 5で割ると3余り 7で割ると 合同式を用いた解法。 4余る自然数をn とすると n=2 (mod3) ①, n=3 (mod5) ...... ②, n=4 (mod 7) ①から n=3s+2 (s は整数) ④を② に代入して 3s+2=3 1=6であるから 3s=6 ● ユークリッドの互除法と1次不定方程式 ・・・・・・ ④ すなわち 3s=1 解答 nはx, y, zを整数として,次のように表される。 n=3x+2,n=5y+3, n=7z+4 注意 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1...・・・ ① x=2, y=1は, ① の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1)=0 3x+2=5y+3 かつ 5y+3=7z+4と して解いてもよいが, 係 数が小さい方が処理しや すい。 法5と3は互いに素であるから s=2 (以上 mod 5) ゆえに,s=5t+2 (t は整数) と表され、 ④に代入すると n=3(5t+2)+2=15t+8 ⑤ 3(x-2)=5(y-1) よって x=5k+2 ···... ② すなわち 3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-2=5k と表される。 ② を3x+2=7z+4に代入して このとき y=3k+1 ⑤を③に代入して 15t+84 すなわち 15t-4 14t=0であるから t=-4 (以上 mod 7) ゆえに, t=7k-4(kは整数) と表され, ⑤ に代入すると n=15(7k-4)+8=105k-52 求める最小の自然数nは, k=1を代入して 法と3は互いに素であ るから、両辺を3で割る ことができる。 1545 として、法と 15は互いに素であるか 両辺を15で割って 3とすることもでき る。 n=105・1-52=53 3(5k+2)+2=7z+4 <3x7z=2から ゆえに 7z-15k=4...... ③ 7・(-2)-15・(-1)=1 両辺に4を掛けて 3(x-3)-7(z-1)=0 ゆえに、を整数として x=71+3 7・(-8)-15・(-4)=4 ...... ④4 ③ ④ から 7(z+8)-15(k+4)=0 すなわち 7(z+8)=15(k+4) 7と15は互いに素であるから, lを整数として, z+8=15/ と表される。 これとx=5k+2 を導置 して 5k+2=71+3 よって5k-7l=1 これより、おが求めら れるが, 方程式を解く手 間が1つ増える。 百五減算 ある人の年齢を3, 5, 7でそれぞれ割ったときの余りをα,b,cとし、70g+216+15e 検討 とする。 このnの値から105を繰り返し引き, 105より小さい数が得られたら、その数が その人の年齢である。 これは3, 5, 7で割った余りからもとの数を求める和算の1つで、 百五減算と呼ばれる。なお、この計算のようすは合同式を用いると、次のように示される。 求める数をxとすると, xa (mod 3), x=b (mod5) c (mod 7)であり, n=70a=1.4αx (mod3), n=15cm1c=cx (mod 7) n=2101.60x(mod5), よって z=157-8 これをn=7z+4 に代入して n=7(151-8)+4=105-52 よって、 nxは3でも5でも7でも割り切れるから,3,5,7の最小公倍数 105で割り切れ る。ゆえに、を整数として, n-x=105kから n-105 このkが105を引く回数である。 求める最小の自然数nは,l=1を代入して n=53 1054-52>0とすると 52 D> 105 練習 3で割ると2余り、5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数のうちで、

分数があるので、最小公倍数をそれぞれにかけるのは分かるのですが、分配法則がある場合どちらから先にするのでしょうか？

□ 78 次の1次不等式を解け。 (1) 4 x+3 教p. 29 *(2) 3(1-2x)≧1-3x

この問題の解き方おしえてください💧 (答え (3x+1)(2x+1),(3x-1)(2x+1))

32 最小公倍数が18m3+9m2-2-1, 積が364 +36m3+5m2-4-1で あるような2つの2次式を求めよ.

波線のとこからわかりません。

例題 3 an=3n-2, bn=4n+1 (n=1, 2, 3, ......) で定められる2つの等差 数列{an}, {bn}に共通に含まれる項を, 順に並べてできる数列を {cm) とする。 数列{c} の一般項を求めよ。 指針 数列{an}, {bn} の項を書き出すと {a}:1,4,7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,31,34,37, {bn}: 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, ... 数列{an},{bn}に共通に含まれる項を書き出すと {C}:13,25, 37, よって、数列{c} は初項13, 公差 12の等差数列であると見当がつく。 →この公差 12 は数列{a} の公差3 と数列{bn} の公差4の最小公倍数。 3p-2=4g+1 解答 共通な項を ap = bg とすると よって 3(p-1)=4g 3と4は互いに素であるから, gは3の倍数である。 ゆえに,g=3k(k=1, 2, 3, .....) と表される。 よって、数列{erの第n項は数列{6m}の第3項で Cn=b3n=4・3n+1=12n+1 答 別解 数列{an}, {6} の項を書き出すと {an}:1,4,7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,31,34,37, {6}:5,9,13, 17, 21, 25, 29,33,37, 数列{an}, {bn} に共通に含まれる項を書き出すと {cn}:13,25,37, 85 19 es よって, 数列{cn} は, 初項が13で, 数列 {an} の公差3と数列{bm} の公差4の 最小公倍数 12 を公差とする等差数列である。 出 したがって, 数列{cm} の一般項は Cn=13+(n-1)・12=12n+1 答

なぜ式の最後に➕1をするのですか？

n B 9で割り切れるが, 5で割り切れない数

l=ga’b’の証明で lはa=ga´ の倍数という記述がありました。 これはどういう意味ですか？

ㆍ数学の数列の問題です。画像の問題でピンクの線の部分の意味が分からないので解説お願いします。 ᆢ特に分からないところ ㆍなぜ、ｌ＋１≧２、ｍ≧１なのか。２と１はどこからでてきたのかが分からないです。 ᆢ元の問題文も載せておいたので、そちらもみていただけるとありがたいです。

2つの数列{an},{bn}の一般項がそれぞれan=4nt1, bn=sm-3であるとき、この2つの数列に共通に含まれる項を 小さいほうから順に並べてできる数列の一般項を求めよ。 ae=bmとすると 4と5は互いにまで1+1=2.31 4+15m-3であるから、2+に5km=4k 40+4=5m (kは正の整数)と表される。 4(9+1)=5m よって、数列の項は数列の 第4項に一致する。したがって、 22 次の等差数列の和を求めよ。 ch=ben=5.4m-3 =20m~3

解説お願いします

1 から 100 までの整数のうち,6と8の少なくとも一方で割り切れる 数は何個あるか。 BAND A 1612 2 2 4810024100 916

書いてます

362 12/6 7/9/25 1202 16×1925 重要 例題 7 2つの等差数列の共通項 一般項が7n-2である等差数列を {an), 一般項が4n-1である等差数列を {cm} の一般項を求めよ。 {bn} とする。 {a} と {bm} に共通に現れる数を小さい順に並べてできる数列 CHART & SOLUTION 2つの等差数列{a}, {bm}に共通する項 基本1本1 最大公約数が1であること。 a=bm として,l,mの1次不定方程式を処理 1次不定方程式 ax + by=c (a, b は互いに素) の整数解を求めるには, 1組の解 (p, g) を見つけて α(x-1)+b(y-g)=0 とする。 解答 (新課程チャート式解法と演習数学A 基本例題127 を参 a=bm とすると 71-2=4m-1 よって77-4m=1...... ① l=-1,m=-2 は ① の整数解の1つである。 よって ①-②から すなわち 7·(−1)-4・(-2)=1 ...... ② 7(+1)-4(m+2=0 7(1+1)=4(m+2) 7と4は互いに素であるから, 1+1は4の倍数である。 ゆえに, kを整数として, 1+1=4k と表される。 これを③ に代入すると m+2=7k l,m,kは自然数 m≧1 として k≧1にな らない場合、 注意必 詳しくは解答編 PRACTICE 7in 参照。 6 例題 と25の間 8 CHART & 既約分数の 補集合の 分母が素数の 44 4-11' 25= ① は, 初項 え方で求め ただし, ① 分母の11に 5-11 6-1 11 これらは、 含まれる整 答 4と25の よって l=4k-1,m=7k-2 lmは自然数であるから k≧1 このとき a=71-2=7(4k-1)-2=28k-9 これは、数列{c}の第項である。 したがって, 数列{C} の一般項は Cn=28n-9 これは初 なぜ INFORMATION 項の書き上げによる解法 るから、 7と4の最小公倍数は 28 {an}:5,12,19,26,33, ・であり, {bm}:3,7,11, 15, 19, なぜ ①のう ・であるから C=19 よって,数列{cm} は初項 19, 公差 28 の等差数列であるから,【公差2つの数列の その一般項は en=19+(n-1)・28=28n-9 公差の最小公倍数) (公道)( したが 補足一般に,2つの等差数列 (公差はともに正) に共通項があるとき, 共通項を小さ い順に並べた数列も等差数列となる。 PRACTICE 70 る。 {an}と{bm}に共通に現れる数を小さい順に並べてできる数列{c} の一般項を求 一般項が5n+4である等差数列を {an}, 一般項が8n+5である等差数列を {bm} とす めよ。 PRACT 22