(4)の下から4行目のところでなんでmを用いているのですか？2mではダメですか？

66 第1章 数列の極限 **** 例題 24 無限級数の収束・発散 (2) 2,3,4 次の無限級数の収束発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ、た だし、(2)は無限等比級数である。 Szm-1-2- 3344 (4) 一般項をα 初項から第n項までの部分和をS, とする. を自然数とすると, n=2m-1のとき 2 無限級数 67 mm (1) 1+ 3+5+7+ (2) (3-1)+(4-2/3) + (6,/3-10 +•••••• (3)(3) =2 + /m したがって, /m 第1章 3.3 4.4 n+1 n+2 また, n=2m のとき, limS2m-1=2... ① n+1 (4) 2 22 33 " =(3-1)+(√3-1)'+(3-1)'+・・・・ 考え方 (1) 一般項を とするとき, lima0 ならば、無限級数 Σa, は発散する. (2)公の無限等比級数が収束する条件は、(初項)=0 または-1<r<1である。 (3-1)+(4-2/3) + (6/3-10)+・・・ よって、公比は3-1であり、-1<√3-1 <1 であるから収束する。 (3)無数Σa.. b が収束するとき, (ka.+lb.) =kZan+lZb. である(ただし,k, lは定数). (4) lim Sp≠limS (n=2m-1 のときと n=2mのときで極限値が異なる) より。 limS2m=1 ...... ② S2m=S21+a2m=2- m+2 m+1 lim よって、 ①,②より, limS2-1≠lim となり m+2 m+1 n=2m-1とn=2m のときで極限値が異なるから,こ の無限級数は発散する. 2 1+ = lim 2 m 1 1+ m Focus ・α 0 のとき 初項a,公比rの無限等比級数 定できないので a 1-r 和 (Irl<1) ・α = 0 のとき .......+ 発散 (|r|≥1) の値にかかわらず 和は 0 STJER ならば lim S は発散する。 234 解答 (1) 1+ 3'5 5+7 n 分母 奇数の列 この無限級数の第n項 4. は, an 2n-1 1 分子 自然数の列 したがって, lima.=lim n =lim 1 2 --2- (1, 2, 3, 4, .....) *-02- n 分母,分子をnで割る よって、この無限級数は発散する. 4-2/3 (2) 公比を とすると,r= 2=√3-1<1 より lar より 1-∞ m a2 r|<1 であるから,この無限等比級数は収束する. その和は、 r= ai |r| <1 より, 和は, (1, 3, 5, 7, ......) 無限級数Σan, Σb" が収束するとき, n=1 Σ(kan+lb)=kΣan+lZon n=l lim S2 = limS2n=S⇒ limS=S に収束 818 lim S2 キlimS2n⇒ lim S は発散 818 > 無限級数やその部分和を考えるときは, n=1 818 √3-1 √3-1(3-1)(2+√3) =1+√3 勝手に括弧をつけてはいけない,(p.68 Story 参照) 1-(3-1) 2-√3 4-3 &mil (3) と は、 は、 より、ともに収束するから、 (2252) も収束する。 をそれぞれ調べる. +0+0+0= に足 [オイラー 1-1+1-1+ 1 また,それぞれの和は, I Σa. Zb. * 練習 3 128 24 |収束 2 3 ** -=3. =1 1 1 ⇒(an-bn) (1) 2 3 4 5 1_2_3_4 2 of 3 |収束 (3) 3"-4 =3-1=2 2" (4) 2- 3 + 23 32 次の無限級数の収束 発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ. ただし, (2)は無限等比級数である. (2) √5+(5-√5)+(6√5-10)+..... 4 4 n+1 + n+2 32 32 + n (n+1)2 •p.81 16 17

(1)と(2)の問題のsnを求める方法が分からないです。 どうやって、snを出しているのですか？教えてください😢

練習問題 11 次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ (1) 1-1+2-2+3-3+4-4+... (2)1-1+1/-/12/+/-/1/+1/11/ 3 3 4 4 精講 直感に頼らず「部分和を計算し、その極限を調べる」という手続き を踏んでいきましょう。 解答無 以下,第n 部分和をSとすると 発散 (1) (S) 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, となる. この数列は発散するので,無限級数は n 発散する. 1234567 注意 より厳密に書けば, {S} の 「奇数項目だけを見た数列」は 第2章 1, 2, 3, 4, ･･となり正の無限大に発散し、 「偶数項目だけを見た数列」は 0 0 0 0 ･･となり0に収束します。 このような場合, 数列{Sn}の極限 としては発散です。 (2){Sm}:1,0, 1 1 0. 0, 0 2 3' 「奇数項目だけを見た数列」は 1 1 1 1. より, 0 に収束する. 2'3'4 9 また「偶数項目だけを見た数列」 も 0, 0, 0, 0, ... より, 0 に収束する. n よって, limS=0 であるから, 無限級数は 0. に収束 M 1 2 3 4 5 6 7 n

(2)と(4)が理解できません😢 (2)は、等比数列の和の公式を使うと、➖2/3になってしまいます。 (4)は(√n−√n−1)がkに何を代入したら出てくるのか教えてください。

練習問題 7 次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ. (1) 1+3+5+... +(2n-1)+... 1 1 1 (2) 1- + +・・・+ 1 7-1 2 4 8 2 +... 1 1 1 (3) + + 1 1-2 2.3 3.4 1 n(n+1) +... n=1 √n+1+√n 精講 無限級数の計算では,まず 「第1項から第n項までの和」Sを計 算します。 このSnのことを,無限級数の (第n) 部分和といいます。 Smをどうやって求めるかは,数学Bの数列ですでに学んだ内容ですから, 「限級数で新たにつけ加わるのは, lim Sn を計算することだけです。 以下、第n部分をSとする. (1) S=1+3+5+…+ (2n-1) n18 解答 どこまで付く 初項1 末項 2n-1, 数等差数列 n{1+(2n-1)} 2 等差数列の和の公式 (項数){(初項)+(末項)} S=- =n2 limS=∞ より 無限級数は発散する. 2 n-1 1 1 1 2)/Sn=1 + + + 2' 2 項数nの等比数列 等比数列の和の公式 2 S= 23 limS= 1-(-1/2) {1-(-/1/1)} 2 3 1-r ココが 0 に収束する より, 無限級数は収束し、その和は 初項α 公比r, 項数nの等比数列の和Sは a(1-") 23

Ex30(2) S2n-1=S2n+(1/3)^nという等式が 成り立つことが理解できません。

EX ④ 30 1 1 1 1 1 1 (1) 無限級数 + 2 3 22 + 32 23 +･･････ の和を求めよ。 33 n+2 数字皿 (2)n=(-1)"-110g2- (n=1, 2, 3, ･･･) で定められる数列{6} に対して n Sn=b1+b2+.････ +6 とする。 このとき, lim Sn を求めよ。 (1) 初項から第n項までの部分和をSとする。 S2n= 1 1 1 +......+ 1 2 = 1/2-13 + 2 - 3 ² + + 23 22 32 +....... +(1/3)*} -{/12+(1/2)+…+(1/2)*} -113/3+(1/2)+.. 1/1(12) 1 1 2 1 3 . 3 13 [(2) 類 岡山大 ] HINT lim S2n と 2章 EX lim S27-1 に分けて考える。 n ,1 ←初項 公比 1/2 の等 比数列。 2' ←初項 1/3 1/3の等 検討 (1) の無限級数を ヨ 比数列。 す [極限] 1 1 1 + 2 2n 2.3" 1 また S2n-1=S2n+ 3n 1 よって lim S2n= = n→∞ 2 limS2n-1= limS2n+ n→∞ 8+U (S2+)- 1 2 12 ゆえに,この無限級数は収束して, その和は (2) Szn=(b1+b2)+(63+64)+ = =(b2k-1+b2k) k=1 n 2k+1 +(62n-1+bzn) = (log2 21-1-loga 21/2+2) k=1 2k るのは,答えが同じでも 正しい解法ではない (無 限級数では,無条件で項 の順序は変えられない)。 問題が すなわち 33 3r れていれば、2(1/2). 8 \ n=1 2 (1/3)"が収束するこ とを示してから (前者の和)(後者の和) を答えとするのは正しい。

緑色のところで分母の和を求めたのにそれをそのまま赤矢印のように使っていいのですか？黄色のところは重要ですか？

76 第1章 数列の極限 Think 例題 29 不等式の証明(2) 1 (1) 不等式 ✓k+I+√k 1 1 (2) + n=1n √1 2 + +……が発散することを示せ. √3 ↓k 1 **** (kは自然数)が成り立つことを示せ 考え方 (2)このままでは部分和を求めることができない. まず,どのように発散するか予想してみると. (予想) 「各項とも正でそれを次々と加えている」 ↓ 「発散する場合は,正の無限大 (+∞)に発散しそう」 となる. したがって,一般項がよりも小さい無限級数 √n ・正の無限大に発散する無限級数 をともに満たすものを見つけ, 「追い出しの原理」 (p.21 参照) を利用する。 1 =が発散することをまず示す. vn+1+√n √k+1>0,√k> 0 解答 (1) kは自然数より、 したがって, k+1+√√k 両辺の逆数をとると, vk+1+√k √k よって、 与式は成り立つ. (2)1/1は自然数 である. 1 √k+1-√k わかる。 ① ①とおいて, 1 antityn が 発散することをまず vk+1+√k (√k+1+√√k)(√k+1−√k) =vk+1-√k 示 分母の有理化をする. 1 より の部分和 S は, vn+1+√n S=(-1)+(2)+(-) 部分和 S を求める. + +(n+1) =√n+1-1 したがって, == $2 27,+1+1= lims.= lim(√z+1−1) ivn+1+vn =8 80 8 1 より ② 求める。 #=1√ n よって、①,②より、2=∞となり,発散する. (追い出しの原理) n 00

ここで正の無限大にって書くのはダメですか？

64 第1章 数列の極限 [n+] 例題23 無限級数の収束・発散 (1) 次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ. **** 1 1 (2) an (1) 1-3 2-4 3-5 n(n+2) I 2 3 (2) √2+13+14+1 yn+1 +1 2 無限級数 65 n vn+1 +1 ⑥東C始の不定形 n(vn+1-1) n+3 (3) n n+2人 より (vn+1+1)(vn+1-1) =√n+1-1 したがって lima= lim(vn+1-1 *-* 00 lim S玉の無限大に + 分母を有理化する. 第1章 +1 (1) 数列{a} が 0 に収 束しない Naは発散 考え方 無限級数の収束・発散を調べるには、 まず。 一般項 α の収束・発散を調べ 次に、部分和 S, を求める。 D S=atat…tat 無限級数 よって、この無限級数は発散する. となり 部分和 Sm ・{S.}が収束Σa. が収束 0350 = (3)S=(2-1)+(2)+(4-0)+ nn+ lim4.=0 ......+ limS=S 2,=S \n-1 n+1) 1+ n+Xn+3\ n+2 部分和 S を求める. SALHA 解答 =2+ したがって 1 (1) {Sが発散が発散 切除するか (1) 部分分数に分解して考える. (2)無理式である。 分母の有理化をする. 一般項を a.. 初項から第n項までの部分和をS" とする. _1/1 1 <部分分数に分解する) 3 n+2n+3\ lim S, 2 n+1 n+2) 3n+2n+3 42n+1 n+2 WANG DER {S.} の収束 発散を 調べる. n(n+2)=( 2 3 nt! 1+ 1+- 3 n n = lim 2+2 1 2 1+- 1+ n n a,= n(n+2) 2nn+2, lima.=0 3 =2 1-1 1 S 11 1.3 2.4 +3.5+...... 部分分数に分解する 3 部分和 S を求める。 よってこの無限級数は収束し、その和は 2 11 (n-1) (n+1) n(n+2) Focus 無限級数の収束 発散 23 bla ...... 1/1 1 2\m n+2) 数列 {a} が 0 に収束しない lima=0 無限級数Σamは発散する n=1 部分和 S を調べる n+1+2 より, limS,=lim 1/ {S} の収束・発散を lim SS (収束)のときan=S =1 1 1 調べる 2 133 n+1 n+2 1 lim- =0. 224 +1 よって、この無限級数は収束し、その和は 1 練習 lim- =0 n+2 23 (1) ** 4 limS=S ⇔ →Σa-S (2) 次の無限級数の収束・発散を調べ, 収束する場合はその和を求めよ。 itysty3+√5+15+√7 1 v2n-1+v2n+1 [n+1 n+4 n n+3 + 1 (3) 32-647-85-10 n²-2n →p.8112~15

数3の極限です 下線部のところで、たぶん「等比数列の和」が使われてると思うんですけど、「無限等比級数の和の公式」をつかってはいけないのはなんででですか？

60 基本 例題 31 2つの無限等比級数の和 00000 無限級数 (1-2)+(3-2)+(323-21)+ の和を求めよ。 p.54 基本事項 4.基本26 CHART & SOLUTION Hom C 無限級数 まず部分和 Sn この数列の各項は() でくくられた部分である。 部分和 Sm は有限であるから, 項の順序 を変えて和を求めてよい。 注意 無限 の場合は,無条件で項の順序を変えてはいけない (重要例題 32 参照)。 an 別解 無限級数 24, 20mがともに収束するとき n=1 n=1 00 解答 n=1 bm が成り立つことを利用。 n=1 n=1 初項から第n項までの部分和をS とすると (+++) (+ ++ S=(1+/+/3/3+ 1-(1)/1-(12) 1-1 =1 1 1- 2 lim S= -231-1-1/2 であるから,求める和は 1/2 12-00 別解 (1-1)+(1/3-2/2)+(1/2-2/2)+(1/2) 1 Σ3-1 n=1 n=1 -は初項1,公比の無限等比級数であり, 3 21/1は初項 1/2.公比 1/2の無限等比級数である。 ← S は有限個の和である から, 左のように順序を 変えて計算してもよい。 n→∞の [inf. → 0. 0 無限等比級数の収束条件は a = 0 または |r|<1 a n 公比について、1/31 12 <1であるから,これらの無 限級数はともに収束して、それぞれの和は このときは 1-r ←収束を確認する。 1 3 n=137-1 2 1 23 1 n=12n 3 1 |1|2 00 n=1 on-1 よって (3/12/28-1/2-1-1/2 PRACTICE 31° 次の無限級数の和を求めよ。 (1) (1+1)+(1/3+3)+(3/3+3)+ 32-2 33-22 34-23+.... (2) + 4 + 43

無限級数についてです。 （2）で、-1,1,-1,1,-1と続くのなら足したものは0か-1になると思うのですが、なぜ発散するといえるのですか？

日本事項 解) 変形す 基本例題 34 無限級数が発散することの証明 次の無限級数は発散することを示せ。 1 5 9 13 + + + 2 3 4 5 +...... COS + COS + COS3+.･････ 63 ①①①① p.61 基本事項2 重要 45 指針 前ページの基本例題 33のように, 部分和 S を求めて {S)が発散することを示すと いう方法が考えられるが,この例題では部分和 S が求めにくい。 そこで, p.61 基本事 項②② 数列{a} が 0 に収束しない 無限級数は発散する(近はなりたたない を利用する。 すなわち, 数列 (4) が0以外の値に収束するか、発散 (∞,-8,振動) することを示す。 aitastast.. 2章 ④無限 an+and 50 CHART 無限級数の発散の証明 → 発散が有効 20 ISG でとまる ↓ 収 分子: 初項1, 公差4 分母: 初項2, 公差1 4n-3 (1) 第n項an は an= n+1 部 解答 3 分 4- ゆえに liman=lim 4n-3 n 最後になってくの等差数列。 €4.442 =lim n→∞ noo n+1 よって、 この無限級数は発散する。 (2)第n項an は kを自然数とすると an=COS nπ 1 [+] n =40 188 < 数列{an} が 0 に収束し ない 2αは発散 n=1 (ただし, 逆は不成立) COS n=2k-1のとき n=2kのとき |1 nが COSnz=cOS (2k-1)π = cos(-π) nが 奇数、 偶数 2 0 1 x =-1 COS n = cos2kz=1 ゆえに, 数列{a} は振動する。 よって, 数列{a} は0に収束しないから、この無限級数 =(-1 は発散する。 Anim 196 と

この問題の最初の順序を変えて計算するところ？なのですが、自分は2枚目のようにやっていてこの無限級数の部分和は収束するからこのようにしても大丈夫ですよね？

ス題追 解 42 62 基本 例題 31 2つの無限等比級数の和 000000 無限級数(1-1/2)+(1/3-2/23)+(238-2123 ) +の和を求めよ。 の p.54 基本事項 4 基本26 CHART & SOLUTION 無限級数 まず部分和 S. 無限級数 部分和を求めてんを無限大にする この数列の各項は()でくくられた部分である。 部分和Sは有限であるから,項の順序 を変えて和を求めてよい。 [注意] 無限の場合は、無条件で項の順序を変えてはいけない(重要例題 32 参照)。 別解 無限級数 20m, 26m がともに収束するとき 無限のときは順序をかえると 8 an, n=1 00 00 an Σbn が成り立つことを利用。 n=1 計算がおかしくなることが あるからい n=1 n=1 初項から第n項までの部分和を Sn とすると 解答 Sn=(1+1/+1/3+ …………+ 32 3)-(1/2/+/2/2+ 1-(/) 1/12-(2/7)_ 3 = 1- 32 1 トレス + 2" lim S-21021-1-12 であるから,求める和は 1/2 Sn= = 1-∞ 別解 00 n=1 (1-1/2)+(1/3-2/23)+(328-12/31) + IM8 1-1 3- n=1 2 gly は初項 1. 公比 1/3の無限等比級数であり、 3n-1 配る。 2121は初項 1/12. 公比 1/2の無限等比級数である。 公比について 1.21 であるから,これらの無 限級数はともに収束して,それぞれの和は 1 Sは有限個の和である から,左のように順序を 変えて計算してもよい。 つくのである。 Shを求めでしょ inf. n→∞のとき <-0. →0 無限等比級数の収束条件は a=0 または |r|<1 このときは a 1-r ◆収束を確認する。

S 2nとS２n−1の意味がわかりません

項 ポイント 2 Σanrn anim (an は等差数列 n=1 部分和 Sn は,Sn-rS を計算して求める。 平 1 1 28 無限級数 1+1+ + 1_…………… の部分和を 2 3 8 Sn とするとき, lim S2n, lim S27-1 を求め, 無限級数の収束, 発 n→∞ n→∞ 散を調べよ。 収束するときはその和を求めよ。 ポイント③ a+b+a+b+α+...... 部分和 S が1つの式で表せないときは, S2n, S2n-1 などを求め て,両者の極限が一致するかどうかを調べる。 一致する → 収束 一致しない — 発散 数の和の性質 8 数で、24n=S, 26m=Tとするとき、無限級数