解答
00000
基本 例題 179 接する2曲線と面積
曲線 y=logx が曲線 y=ax2と接するように正の定数αの値を定めよ。 また,
そのとき,これらの曲線と x軸で囲まれる図形の面積を求めよ。
[信州大」
基本 85 176 17
指針(前半)2曲線y=f(x), y=g(x) が点 (b,g) で接する条件は
y=f(x))
|f(p)=g(p)
y 座標が一致
共通接線
|f'(p)=g'(p)
傾きが等しい
y=g(x)
接する
(p.147 基本例題 85 参照。)
(後半)(前半)の結果から2曲線の接点の座標がわかるか
ら,グラフをもとに2曲線の上下関係をつかみ、面積を
計算。
なお,面積の計算には [1] x 軸方向の定積分
P
[2] y 軸方向の定積分
の2通りが考えられるが,ここでは [1] の方針で解答してみよう。
f(x)=logx, g(x) =ax2 とすると f'(x)=1/12g'(x)=2ax
2曲線 y=f(x), y=g(x) がx=cの点で接するための条件
logc=ac²
は
① かつ =2ac
C
②から a=
(3
2c2
<①:f(c)=g(c)
②:f'(c)=g'(c)
③①に代入して
logc=
2
ゆえに
=√e
したがって
a=
このとき、接点の座標は
よって, 求める面積Sは
(√e, 1/1)
s=S/xdx-Slogxdx
=
Do 2e
-[4-[logx-x]"
2e
XC
= 1/1√e-(1√e-√e+1)
-√√-1
12
S
1
2c2
=
/y=logx
12
2e
1
y=
2e
√e
x²
x
(後半) の別解
(指針の [2] による)
y= ±±±±x² (x≥0)
2e
⇔x=√2e
y=logx⇔x=eカ
s=$(e-√zey)
= [e³ 2√2 y√y]
3
2√2e 1
=√e-
3 2
3
1-2 |
