基本例題の[2]についてです。ここの条件ですが、 a/3<=1<=4a/3とありますが4a/3も含めてしまっていいんですか？これだと最大値がf(a/3)だけでなくf(4a/3)もになってしまいませんか？

354 基本 ( 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小 00000 αを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax2+α'x0≦x≦1 における最大 [類 立命館大 ] 基本 219 重要 224 値M (α) を求めよ。 端での関数の値を比べて最大値を決定する。 指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で, 極値と区間の [2] a 4 [ on a すなわち 3--3 sas3のとき, a f(x)はx=1/3で最大となり M(a) = f() [2] YA [2] は区間に極大値をと 355 [最大] るxの値を含み, 極大値 が最大値となる場合。 H 0 x a 1 a 3 3 a 10% f(x) の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のよう YA になる原点を通る)。ここで、x=1/4以外にf(x)=(1/2)を [3] 0</a<1 すなわち [3] 最大! 満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。 O 0<a<212のとき、 a²-2a+1 よって、1/3a (1/3 <α) が区間0≦x≦1に含まれるかどうか a aax 3 で場合分けを行う。 f'(x)=3x²-4ax+α²=(3x-a)(x-a) f(x) はx=1で最大となり M(α)=f(1) 0<a<2,3<a のとき M(a)=f(1)=α-2a+1 44as3のとき 20 10 a a 41 3 [3] は区間に極大値をと るxの値を含むが、 区間 の右端の方が極大値より も大きな値をとり, 区間 の右端で最大となる場合。 f(1)=13-2a・12+Ვ1 6章 2 最大値・最小値、方程式・不等式 解答 f'(x)=0とすると x=13, a 以上から まずは,f'(x) =0を満た すxの値を調べ, 増減表 をかく。 sas3 のとき M(a) - 12/10 4 =a2-2a+1 x ... a 3 α>0であるから, f(x) の増減表は次のようになる。 f'(x) + 0 = 0 + f(x) 極大 極小 <a>0 から 0<<a 3 a ... > 3次関数の対称性の利用 ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-α) から 曲線 y=f(x) と直線 2 (3)=(-a)²=a³, f(a)=0 4 27 y= 点において接するから, 21は、x=1/3の 検討 p.344 の参考事項で紹介した性質, 3 を用いて,f(x)=1/27 満たすx= の値を調べることもできる。 =1/3以外のx x = 1/3以外にf(x) = 4 27 Eα を満たすxの値を求めると, 2つの極値をとる点を結ぶ線分の中点 (つまり 変曲点)の y=f(x) f(x)- x座標は -2a 24 x=- = ナ f(x)から で割り切れる。このこと 3.1 39 x2ax2+αx- a³=0 を利用して因数分解する とよい。 2 3 よって、で、off-faから a= a+ 3 3 27 ゆえに (1/3)(x-2/341-0 1 -2a a² 11/24)となる。 a 3 9 xキ x= 1/32 であるから 4 a x= 4 1 3 a -a² 0 13 9 なお, p.344 で紹介した性質を用いる方法は,検算で使う程度 としておきたい。 うになる。 よって、f(x)の0≦x≦1における最大値 M (α) は,次のよ 0.0 [1] 1<1/3 すなわち 4>3のとき, 1- 3a 0 の方針。 f(x)はx=1で最大となり M(a)=f(1) a²-2a+1 ・最大 (入 ことしないよ =1/13/2/2ax-2ax+αの区間0≦x≦2 におけ <指針」 [1] は区間に極値をとる xの値を含まず 区間の 右端で最大となる場合。 DIAL 練習 223 は正の定数とする。 関数f(x)=- る最小値 m (α) を求めよ。 p.368 EX 142

2枚目の赤線のようにf(0)のときとf(1)のときでどちらが大きいか比べずに3枚目のようにやる理由を教えてください🙇‍♂️

を正の定数とし, 関数 f(x)=x-3a'x +243-1 がある. 0≦x≦1でつねにf(x) <0が成り立つようなαの値の範囲をオ

かいえます

3x²-12x49 C 数学II, 数学B 数学 C (3)h(x)=f(x)とし,Oを原点とする座標平面において,y=h(x)のグラフ をCとする。 また,Cとx軸の二つの交点のうち,x座標の小さい方をAとする。 2 点の座標は タ 0)である。 Cと線分 OA およびy軸で囲まれた図形の面積は 0 チである。 uを, 0 <u<1 を満たす実数とする。 -3 C上の点(u, h(u)) におけるCの接線をlとする。 l の方程式は y = テト x- 2 u²+= である。 Cと l およびy軸で囲まれた図形の面積をSとすると, S= ヌである。 さらに,Cou≦x≦1の部分とx軸, および直線 x=u で囲まれた図形の 面積を T とする。 ネ uが 0<u<1の範囲を動くとき, S+Tは u = において最小値 ノ ハ をとる。 P 又 の解答群 13 [369]! 1-6ty ⑩u3 1 u³ +1 ② ぴ°+2 ③ (u+1) ④ (u+2) 67-12 y-(34²-12017- (6-12) (-x-2 y= (6η-12)x-622+1

この問題の①②③④を解くのと、①②⑤⑥を解く方法を教えてください。

練習 3次関数f(x)=ax+bx+cx+dはx=1, x=3で極値をとるという。また、その極大値は2で、 0213 極小値は-2であるという。このとき、この条件を満たす関数 f(x) をすべて求めよ。〔埼玉大] f'(x)=3ax2+2bx+c x=1, x=3で極値をとるから f'(1)=0, f'(3)=0 f'(1) = 0 から 3a+26+c=0 f'(3) =0から 27a+6b+c=0 ① ② また,f(x) は極大値 2, 極小値-2をとるから よって f(1)=2, f(3)=-2 または f(1)=-2, f(3)=2 a+b+c+d=2 27a+96+3c+d=-2 a+b+c+d=-2 ...... ③. 4 ←必要条件。 0 通りの場合があるこ とに注意する。 または ① ② ③ ④ を解くと 27α+96+3c+d=2 .. a=1,b=-6, c=9, d=-2 ① ② ⑤ ⑥を解くと a=-1,6=6,c=-9, d=2 9 したがって f(x)=x-6x2+9x-2 または f(x)=-x+6x²-9x+2 逆に,このとき f'(x)=3(x-1)(x-3), f'(x)=-3(x-1)(x-3) ←② ①から 4(6a+b)=0 ゆえに 6=-6a このとき, ①から c=9a よって ④ から d=-2, ⑥からd=2 ars

180番の（I）因数分解してy'＝0としてxが−IとIがでてそれでグラフ？かいて＋、−、＋になって181番の（2）も因数分解してy'＝0として答えが二つで0と3がでてきてこれも同じ感じで＋、−、＋になるんかなって思ったんですけど4次関数はその考え方はできない理由とかってあり... Read More

286 基本 例題 181 4 次関数の極値とグラフ 次の関数の極値を求めよ。 また, そのグラフをかけ。 (2) y=x-4x3+1 ☆ y=3x4-16x3+18x2+5 CHART & SOLUTION 4次関数の極値とグラフ 3次関数の極値やグラフと同じ方針で進める。 ① f'(x)=0 となるxの値を求める ②f'(x)の符号の変化を調べ, 増減表を作る 解答 (1) y'=12x-48x2+36x y=x1 00000 6 基本 180 基本 f(x 値 z=y'=12x(x-1)(x-3) グラフ [a] [H] f f f XC yの増減表は次のようになる。 0 1 =12x(x2-4x+3) 10 =12x(x-1)(x-3) y'=0 とすると x=0, 1,3 5 O 1 3 3TIIII--- + x 01 O I O y' 0 + 0 0 + T -22 極小 極大 極小 y 5 10 -22 よって, yはx=0 で極小値 5, x=1で極大値10, x=3 で極小値-22 をとる。 ← 2か所で極小となる。 また,グラフは図のようになる。 (2) y'=4x-12x2=4x2(x-3) z=y'=4x2(x-3)のグラ フ y'=0 とすると x=0.3 yの増減表は次のようになる。 x 0 - 0 = 3 y' y 1 V 極小 -26 → tess よって,yはx=3 で極小値-26 をとる。 また, グラフは図のようになる。 3 0 x -26 ------- 0 + 13 x 極大値はない。

一番下のマーカー部分なのですが、なぜ微分したのでしょうか、

演習 が引けるための条件 (1) 341 00000 |曲線C:y=x+3x2+x と点A(1, α) がある。 Aを通ってCに3本の接線が引 けるとき, 定数αの値の範囲を求めよ。 [類 北海道教育大 ] 基本218 曲線CA(1,α) を通る3本の接線が引ける 曲線C上の点(t, t+3t2+t)における接線が A を通るようなtの値が3つある そこで, 曲線 C上の点(t, 13+3t2+t) における接線の方程式を求め、 これが点 (1,α)を 指針 3 次関数のグラフでは,接点が異なると接線が異なる(下の検討参照)から 通ることから,f(t) =αの形の等式を導く。 A CHART 3次曲線 接点 [接線] 別なら 接線 [接点] も別 解答 y=3x²+6x+1 であるから, 曲線C上の点(t, +32 +t) に |おける接線の方程式はy (t+3t2+t)=(3+6t+1)(x-t) すなわち y=(3t2+6t+1)x-23-32 この接線が点 (1, α) を通るとすると 2t+6t+1=α ... ① 定数を分離 f(t)=-263+6t+1とすると YA f(t)=-6t2+6=-6(t+1)(t-1) 5 t=±1() f(t) = 0 とすると t=±1 ft)の増減表は次のようになる。 t f'(t) f(t) -1 1 - 0 + 20 極小 7 -3 |[極大] 5 y=a -10! f(-1)=2-6+1=-3, 1 t -3 ly=f(t) f(1)=-2+6+1=5 3次関数のグラフでは, 接点が異なると接線が異なるから, の3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつとき, 点Aか 曲線Cに3本の接線が引ける。 したがって、曲線 y=f(t) と直線y=α が異なる3点で交わる 条件を求めて -3<a<5 ①の実数解は曲線 y=f(t) と直線y=aとの 共有点の座標。 8

なぜx^3の係数は正であると言えるのでしょうか。

重号 例題2093 次関数の極大値と極小値の差 325 00000 関数f(x)=x3-6x²+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき, 定数αの 値を求めよ。 基本208 指針 前ページの例題と同じ方針で進める。 x=αで極大値, x=Bで極小値をとるとすると 解答 極大値と極小値の差が4f(α)-f(B)=4 f(a),f(B) を実際に求めるのは面倒なので,f(α)-f(B) を α-B, α+B, αB で表し, 更に(α-B)2=(x+B)2-40β を利用することで, α+B, aBのみで表すことができる。 f'(x)=3x2-12x+3a f(x)は極大値と極小値をとるから, 2次方程式(x) = 0 すな わち3x2-12x+3a=0 ...... ①は異なる2つの実数解 α,β D>0 今回は差を考えるので, 4-a>0 (α<β)をもつ。 よって、①の判別式をDとすると た D=(-6)-3-(3a)=9(4-α) であるから したがって a<4 ② f(x)のxの係数が正であるから, f(x) はx=αで極大, x=β で極小となる。 f(a)-f(B)=(3-β3) -6(α2-B2)+3a(α-β) 136. =(a-B){ (a2+αβ+β2)-6(a+B)+3a} =(α-B)((a+B)²-aß-6(a+B)+3a) ① で, 解と係数の関係よりα+β=4, ab=a よって (a-B)²=(α+B)2-4aß=4-4・a=4(4-α) a<βより, α-β<0であるから α-β=-2√4-a ゆえに f(a)-f(B)=-2√4-a (4-a-6・4+3a) 2/4-a{-2(4-a)} =4(√4-a)3 f(a)-f(B)=4であるから 4(√4-a)=4 α <βと定める。 x f'(x) + (x) a B 0 - 0 + 大 極小> 3次関数が極値をもつとき 極大値> 極小値 < ② から 4-α>0 よって <4-a>0 61 3 44-a=(√4-a)2 <4-a=1の両辺を2乗 て解く。 すなわち (v4-a)=1 よって √4-a=1 実の ゆえに, 4-α=1から a=3 これは②を満たす。 検討 f(a)-f(B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。 ← ((R)=(x)dx=S,3(xa)(x-B)dx=31-1/2 (a-B) p.352 基本例題2 =(-a) となる。 の公式を利用。

214の問題です。解説の一番最後aの範囲がわかりません。どうしてそうなるのでしょうか

x2+1 の区間 -a≦x≦a における最大値と最小値を求めよ。 ただ 2x □ 214 * 関数 y= し, αは正の定数とする。 A 210

・数学 微積分法 ヒフヘ の部分です 3枚目の左下の指さしてるところがなんで1になるかわからないです、よろしくお願いします

第3問 必答問題) (配点 22) O ① ② a を実数とする。 3次関数 f(x)=r-ar²+(a²-6).r は、f'(1) = 0 を満たしているとする。 f'(x)= ア であるから a= ウ I である。 ここで ar+a²-6 f(x)=3t=2ax+α:6 (1)=3-20+α÷6:0 a220-3:0 (Q-3)(a+1)=0 f(x)=3x6x+3. ③ f(x)=x3x3 a= のとき, f(x)はx=1で (1)=1-23=1 a=- ・中のとき のとき,f(x)はx=1で -3 f(x)=xx5x (1)=1+1-5=-3 オ カ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。) f(x)=3x²+2x-5 ⑩ 極大値をとる ① 極小値をとる ② 極値をとらない x= ケ サ N (1) a= とする。 * f(x)=xの解は, 小さいものから順に f(x)=x3-3×2+3=x 33x²+2x=0 {')-7767+2= 8-12+4 8-12+6 32-6 1-343 x=3229-6 63 =(x+) (+) また. a= | のときのu=f(x)のグラフの概形は ¥2 x=1,-3 5 であるから, 曲線y = f(x) と直線y=xで囲まれる二つの図形の面積の和を S とすると 社 -2x 3 セ エ のときのy=f(x)のグラフの概形は グである。 キ S= dx+ ス dr 1733×2× 23-72 ソ ク については,最も適当なものを、次の①~⑤のうちから一つずつ選べ。 し、同じものを繰り返し選んでもよい。 ① 2 である。 -2x72x -2x2+2x ―x3x3x²-2xx(x-2) -12- 数学Ⅱ 数学 B 数学C第3問は次ページに続く。) シ ス |の解答群 ⑩ f(x) +π f(x)-x 2x dx = x-x+3x2-3x x-f(x) (数学Ⅱ, 数学B, 数学C第3問は次ページに続く。) 16 222 de 1,24** 2x dx #2 + x² + = (-27) + ((*) + (++)

・数学 微積分法 ヒフヘ の部分です 3枚目の左下の指さしてるところがなんで1になるかわからないです、よろしくお願いします

第3問 必答問題) (配点 22) O ① ② a を実数とする。 3次関数 f(x)=r-ar²+(a²-6).r は、f'(1) = 0 を満たしているとする。 f'(x)= ア であるから a= ウ I である。 ここで ar+a²-6 f(x)=3t=2ax+α:6 (1)=3-20+α÷6:0 a220-3:0 (Q-3)(a+1)=0 f(x)=3x6x+3. ③ f(x)=x3x3 a= のとき, f(x)はx=1で (1)=1-23=1 a=- ・中のとき のとき,f(x)はx=1で -3 f(x)=xx5x (1)=1+1-5=-3 オ カ の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。) f(x)=3x²+2x-5 ⑩ 極大値をとる ① 極小値をとる ② 極値をとらない x= ケ サ N (1) a= とする。 * f(x)=xの解は, 小さいものから順に f(x)=x3-3×2+3=x 33x²+2x=0 {')-7767+2= 8-12+4 8-12+6 32-6 1-343 x=3229-6 63 =(x+) (+) また. a= | のときのu=f(x)のグラフの概形は ¥2 x=1,-3 5 であるから, 曲線y = f(x) と直線y=xで囲まれる二つの図形の面積の和を S とすると 社 -2x 3 セ エ のときのy=f(x)のグラフの概形は グである。 キ S= dx+ ス dr 1733×2× 23-72 ソ ク については,最も適当なものを、次の①~⑤のうちから一つずつ選べ。 し、同じものを繰り返し選んでもよい。 ① 2 である。 -2x72x -2x2+2x ―x3x3x²-2xx(x-2) -12- 数学Ⅱ 数学 B 数学C第3問は次ページに続く。) シ ス |の解答群 ⑩ f(x) +π f(x)-x 2x dx = x-x+3x2-3x x-f(x) (数学Ⅱ, 数学B, 数学C第3問は次ページに続く。) 16 222 de 1,24** 2x dx #2 + x² + = (-27) + ((*) + (++)