重要 例題51 2次方程式の整数解と解と係数の関係
|2次方程式xーmx+3m=0が整数解のみをもつような定数 mの値とその、
OO0N
84
(類東京
数学A演習
の29
の整数の解をすべて求めよ。
整数解は実数解 であるから, 判別式について D=(-m)-12m=m(m-12)20
の30
そこで、ここでは「整数解のみ」という特別な条件を手がかりとして進める。
2つの整数解をa, Bla_B) とすると, 解と係数の関係から
指針
しかし、この条件からmの値を絞り込むことはでき、
よって mS0, 12<m
a8=3m
31
この2式から mを消去して、( )( )=(整数)の形を導く。
そして,次のことを利用する。
α+B=m,
4, B, Cが整数のとき, AB=Cならば A, BはCの約数
解答
2次方程式x-mx+3m=0 が 2つの整数解 α, B(αSB) をも
つとすると,解と係数の関係から
のから m を消去すると
α+8=m, aB=3m
の
SH-Do 48-1
mも整数である。
aB=3(α+B)
よって
aB-3-38=0
α(B-3)-38=0
a(B-3)-3(B-3)-9=0.
(α-3)(B-3)=9
Bは整数であるから, α-3, B-3も整数である。
SBよりα-3<B-3であるから, α-3, B-3の値の組は
イ一般に xy+ax+by
すなわち
ゆえに
よって
=(x+b)(y+a)-ab
左の変形では, x=a
ソ=B, a=-3, b=-3と
している。)+(1-)
49の約数は
こに
土1, ±3, ±9
負の数も忘れないように。
0
a, Bの値の組に対する m の値は, ① から
m=-4, 0, 16, 12
づって, 求める m の値とそのときの整数解は
m=-4のとき =-6, 2'
m=0 のとき x=0
(例えば,
(a, B)=(-6, 2) のとき、
のから m=-6+2=-
(m=0, 12 のとき, 解
解になる。
m=12 のとき x=6
m=16 のとき x34, 12