基本例題118 無限等比級数の収束, 発散基本
次の無限等比級数の収束,発散を調べ,収束すればその和を求めよ。A
(イ) 4-2/3 +3-…
(7) V3 +3+3/3 +
n
nπ
)無限級数 () sinの和を求めよ。B
(2) 愛知工大)
3
2
n=1\
p.202 基本事項]
CO
指針>無限等比級数 Ear"!=a+artar?+………の収束条件 は a=0 または「r|<1
n=1
[1] aキ0, |r|<1のとき 収束して,和は
a
東
1-r
[2] a=0 のとき
収束して,和は0
出公取()
(1) 公比rが|r|<1, |r|21のどちらであるか を,まず確かめる。
CHART 無限等比級数の収束,発散 公比 ±1が分かれ目
THAHC
であるから
解答
(1)(ア) 初項は、3,公比はr=
2/3
ア=V3 で,|r|>1であるから,発散する。
(イ) 初項は 4, 公比はr=-
4
3
で,r|<1であるから,収束する。和は
2
4
V3
8(2-V3)
(2+/3)(2-V3)
-=8(2-/3)
(初項)
1-(公比)
2+/3
1-
nπ
(2) kを自然数とすると
000
まず sinがどのような
2
n=2k-1のとき sin=sin(krー)=
- cos kn=(-1)*+1円
2
値をとるかを,nが奇数·
偶数の場合に分けて調べる
kが整数のとき
2
sin-
2
100-
nπ =sinkr=0
0<al+)
n=2k のとき
/範色がのピャら
0をなくしてK
1(kが偶数)
cos kn={
よって,数列()sinは
-1(kが奇数)
=(-1) こ
0,
3'
1
0,
3° 37
0, -1
0.000
1
の|(無限等比数列-,--
n
となる。ゆえに,()sinは
初項,公比
2
3
3°
n=1
1
の和とみる。
無限等比級数であり,公比rは|r|<1であるから収束する。
35)
(初項)
1-(公比)
1 1
1
3?
3
その和は
3
10
こ J間
