これあってますか？

第3章 円 B A 175 右の図のように, 円に内接する四角形 ABCD がある。 辺 BA と CD をそれぞれ延長した直線の交点をEとし, 3点 A, C, E を通る円と辺 AD を延長した直線の交点をFとする。 このとき, 次のことを証明しなさい。 26 D 圏(1) ADAESADCF ADAEとADcFにおいいて 対項角は等しいので2EDA2<FDSの ACの円間角よりくAED=<<FD…@ OCよりニ角相等 よってA DAEM A DCF F 図(2) ABCESADCF ABCE と△DCPにおいて Acの田周角よリト CEB= 4<FD … 円に内接した四角クの内角とその対角の外角は等しりので。 <EBC = FDC い(2 O②より二角相 よって△BCEMADCF

（1）のマーカー部分なのですが、なぜ上から下のようになるのでしょうか。 教えていただきたいです！

(1) nを2以上の自然数とするとき,x"-1を(x-1)?で割ったときの余りを求 【学習院大) めよ。 S+ 8-301-2- (2) 3x100+2x°7 +1 をx°+1で割ったときの余りを求めよ。 .97 基本 53,54 指針>実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。.88~90 でも学習したように, の 割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用 303() ……… 体 (x)0 S R の次数に注意,B=0 を考える がポイント。 (1),(2) ともに割る式は2次式であるから, 余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1を代入することは思いつくが,それだけでは足りない。 そこで,次の恒等式を利用する。ただし, nは2以上の自然数,α'=1, 6=1 a"-6=(a-b)(a"-1+a"-"bta"-'6°+……+ab"-2+6"-1) (2) x°+1=0 の解は x=±i. x3i を割り算の等式に代入して, 複素数の相等条件) A, Bが実数のときA+Bi=0→ A=0, B=0 土(x)を利用。 解答 (1) x"-1を(x-1)で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b即解(1)二項定理の利用。 x"-13{(x-1)+1}"-1 =C,(x-1)"+…+Ca(x-1)? とすると,次の等式が成り立つ。 xm-13(x-1)°Q(x) +ax+b6 …… ① ス十ス) 0=a+b すなわち 6=-a 両辺にx=1を代入すると のに代入して =(x-1){(x-1)2+…+.C} x"-1=(x-1)Q(x)+ax-a +nx-n FV2は =(x-1){(x-1)Q(x)+a} -選因念 ゆえに,余りは nx-n また,(x-a)°の割り算は微 分法(第6章)を利用するのも 有効である(p.305 重要例題 194など)。微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 ここで,x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2+ +1)であるから xn-1+x"-2+ +13(x-1)Q(x)+a+x この式の両辺にx=1を代入すると n個 よって b=-aであるから 6=-n a=n 10-15 mえに 求める余りは nx-n

f(x)のところはfじゃなきゃダメですか？ P(x)で置いても大丈夫ですか？

100 基本例題63 解から係数決定(虚数解) OOO00 3次方程式 x°+ax+bx+10=0 の1つの解が x=2+i であるとき、史 の定数 a, bの値と他の解を求めよ。 (山梨学院大) p.94 基本事項2, 基本 62 AOIRUNI CHART OSOLUTION x=α がf(x)30 の解 → f(α)=0 代入する解は1個 (x=D2+i) で, 求める値は2個 (aとb)であるが, 複素数の相等 A, Bが実数のとき A+Bi=0 A30 かつ B=0 により, a, bに関する方程式は2つできるから, a, bの値を求めることができる。 また,実数を係数とする n次方程式が虚数解 α をもつとき, 共役な複素数αも 解であることを用いて, 次のように解いてもよい。 別解1,2 αとαが解であるから,方程式の左辺は(x-α)(x-α) すなわち x°-(α+a)x+aa で割り切れることを利用する。 3つ目の解をんとして, 3次方程式の解と係数の関係を利用する。 別解3 解答 |inf. x-2=iと変形して 両辺を2乗すると x°-4x+5=0 x=2+i がこの方程式の解であるから (2+)°+a(2+)?+6(2+i)+10=0 ここで,(2+i)=2°+3·2°%+3·2ポ+パ=2+11i, 81=D6 これを利用して (2+)°=2°+2.2i+ぴ=3+4i であるから ー +ax+bx+10 の次数を 2+11i+a(3+4i)+6(2+)+10=0 ( ( 下げる方法(別解1の3行 0+x1-(目以降と同じ)もある。 8 とすると、 他方 iについて整理すると (b.89 基本例題56 参照) 3a+26+12+(4a+b+11)i=0 3a+26+12, 4a+b+11 は実数であるから 全この断り書きは重要。 A, Bが実数のとき 3a+26+12=0, 4a+b+11=0 0ヶ預の a=-2, b=-3 x°-2x°-3x+10=0 A+Bi=0 これを解いて ゆえに,方程式は f(x)=x°-2x?2_3x+10 とすると C-x)(1-3)- → A=0 かつ B=0 こる 開題国 f(-2)=(-2)°-2·(-2)?-3·(-2)+10=0 =-IS よって,f(x)は x+2 を因数にもつから s-ー )-合益立除法 f(x)=(x+2)(x?2_4x+5) 10 -2 1 -2 -3 8-=o 81=d -2 8 -10 したがって,方程式は (x+2)(x°-4x+5)=0 x+2=0 または x°-4x+5=0 ゆえに 1 -4 5 0 x2-4x+5=0 を解くと x=2±i よって, 他の解は x=-2, 2-i

(2)の問題なんですがiを使う理由を教えてください また、虚数を代入していい理由を教えてください

-3x+7で 求めよ。 91 OOO○ 重要 例題55 高次式を割ったときの余り (1) nを2以上の自然数とするとき, x"-1を(x-1)°で割ったときの余りを求 【学習院大) 53 (重要防、 めよ。 (2) 3x100+2x7+1をx°+1で割ったときの余りを求めよ。 基本 53,54 さる。 指針>実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。b.88~90 でも学習したように, ー1)(x-2)で まりを考える。 割り算の問題 等式A=BQ+Rの利用 R の次数に注意,B=0 を考える 2章 がポイント。 (1),(2) ともに割る式は2次式であるから,余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1を代入することは思いつくが,それだけでは足りない。 そこで,次の恒等式を利用する。ただし,n は2以上の自然数, a'=1, b°=1 った余りは,1 整式または定額 x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 お (x)を利用。 (2) x+1=0の解は x=±i A, Bが実数のとき A+Bi=0→A=0, B=0 えて 1, 1,2 解答 a, b, cの値 (1) x"-1を(x-1)'で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b とすると,次の等式が成り立つ。 x"-1=(x-1)Q(x)+ax+b 別解(1) 二項定理の利用。 x"-1={(x-1)+1}"-1 =,C(x-1)"+…+Ca(x-1)? トかりを見つけ 両辺にx=1を代入すると のに代入して 0=a+b すなわち x"-1=(x-1)°Q(x)+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+a} b=-a (第1式)から =(x-1){(x-1)"-24…+Ca} +nx-n なわち b=3 ゆえに,余りは nx-n ここで,x"-1= (x-1)(x^-1+xカー2+ +1)であるから x7ー1+x"-2+…+1=(x-1)Q(x)+a また,(x-a)の割り算は微 下の練習は に有効である。 分法(第6章)を利用するのも 有効である(b.305 重要例題 194 など)。微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 この式の両辺にx=1を代入すると +cを n個 で割ったとき -)とすると,目 よって b=-aであるから b=-n a=n ゆえに,求める余りは (2) 3x100+2x7+1をx+1で割ったときの商をQ(x), 余りを お0= (5) ax+6(a, bは実数)とすると, 次の等式が成り立つ。 10+221 nx-n から -1)(x-2)46 3r+2)+Rd ] 3x100+2x7+1=(x°+1)Q(x)+ax+b 3100+2:97+1=ai+b 両辺にx=iを代入すると (x)+a]+Rl -1 を代入。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 O 100-(2)0-(-1)0-1, ア=()®;=(-1)*;=iであるから 3·1+2i+1=ai+b 味の 4+2=6+ai a, bは実数であるから したがって, 求める余りは すなわち 4実数係数の整式の割り算で あるから,余りの係数も当 a=2, b=4 然実数である。 2c+4 を代入してもよ サ代感因さたの マりが5で (東京電機 (1) nを2以上の自然数とするとき, x"を(x-2)で割ったときの余りを求めよ。 55(2) x10+x"+1 をx°+4で割ったときの余りを求めよ。 練習 (p.94 EX39 EX37.39 19剰余の定理と因数定理

何故2xy=1になるのですか？

PR 339 2乗するとiになるような複素数 z=x+yi (x, yは実数)はちょうど2つ存在する。このz を求めよ。 2=(x+yi)=x°+2xyi+y°i"=(x°-y)+2xyi (x-y)+2xyi=i は実数であるから,x°-y?, 2xy も実数である。 -y=0 ……… ①, ,2xy=1 (x+y)(x-y)=0 コa+ bi の形に整理。 22=iのとき ロこの断り書きは重要。 口複素数の相等。 よって 2 のから ゆえに ソ=土x 日2より,xy>0 すな ちょとyが同符号であ ことに着目して、 [1 y=x のとき 2から 2x°=1 よって x=士- V2 メーのときy= ソ=ーx が適さないこ を判断してもよい。 ゆえに 2 V2 1 1 -。のとき y=ー- x= V2 [2] y=ーx のとき 2から -2x°=1 これを満たす実数xはない。 [1], [2] から 1 1 2 2 V2 V2 =2| としてもよい。

実数であるから＝0になる理屈を教えて貰いたいです！

よつく (1+ +a + 十10 0-0 整理すると a, bは実数より, 2-3a+6, 4a+24は実数で あるから (2-3a+b)+(4a+24)i=0 2-3a+b=0, 4a+24=0

この問題の解き方が分からないので教えて頂きたいです。

HECK I セー 常 の実なs ル a ) 163 複素数の相等 (1+2i)x-(2-i)y=3 を満たす実数x, yは x=7 ] y= 口である。

なぜ、線で引いているところはAとBでどっちが範囲が広いか分からないのにA⊂Bと決めつけているのですか？

集合の包営関係 相等の証明 重要 例題48 Zを整数全体の集合とするとき, 次のことを証明せよ。0合葉のト (1) A={4n+1|n€Z}, B={2n+1|n€Z} であるとき ACBかつ AキB (2) A={5n+2|n€Z}, B={5n-3|nEZ}であるとき A=B p.76基本事項 指針>(1), (2) とも要素が無数にあり,すべてを書き出すことができない。このようなときは, 次 のことを利用して証明する。 S8.4 「ACBI→「xEA ならば xEB] 「A=B」→「ACB かつ BCA」 解答 天香像通図¥ (1) ×EAとすると,x=4n+1(nは整数)と書くことができる。 このとき 2n=mとおくと,m は整数で x=2(2n)+1回) イ×EBを示すために, 2×(整数)+1の形にする。 B x=2m+1 ゆえに xEB ×EAならば×EBが示さ 3 れた。 よって ACB また,3EBであるが AキB 3年A UK 合 お (関 田さ イxEBを示すために、 SOS0 5×(整数)-3の形にする。 したがって (2) ×EAとすると,x=5n+2(nは整数)と書くことができる。 このとき n+1=k とおくと, kは整数で x=5k-3 x=5(n+1)-3 今円の) きのい イxEAならばxEBが示さ ゆえに xEB さ れた。 よって ACB 次に,×EBとすると, x=5n-3(nは整数)と書くことが できる。 このとき n-1=/とおくと, 1は整数で 円 次に,×EAを示すため, 5×(整数)+2の形にする。 x=5(n-1)+2 x=5/+2 ゆえに イxEBならばxEAが示さ xEA るあケ> atie れた。 よって BCA したがって,ACBかつ BCAであるから A=B 用今円郎 る

2変数の極大極小は分かるのですが、最大最小をとるかの考察と言われると困ります…。 xとy片方ずつ∞にしたり、いっぺんに無限にしても0になり、条件から0以下にならないのでおそらく最大値だけ持ってあとは0に漸近するくらいしかわからないです。これすらあってるかわからないですが…。... Read More

問親」5-3 D.j«.)€ R°| ×zo. 2z07 f(x,g)= (2x +)e は暴大値が長か値を に おて と3か を考家せよ.

平方完成をする理由を教えてください🙇‍♀️

重要 例題40 係数に虚数を含む2次方程式の解 OOO00 xの方程式(i+1)x+(k+i)x+ki+1=0が実数解をもつとき, 実数kの値を めよ。ただし, =-1 とする。 (類専修大) 基本 35 指針>実数解をもつことから, 判別式 D20 を利用したいところだが, 判別式が使えるのは 係数が実数のときに限る。 そこで, 実数解を α として (i+1)α*+(k+i)α+ki+1=n iについて整理して (α°+kα+1)+(α°+α+k)i=0 ここで,複素数の相等条件 A, Bが実数のとき A+Bi=0←→ A=0, B=0 を利用する。 解答 方程式の実数解をx=αとすると iについて整理すると D+ka+1, α'+a+kは実数であるから (α2+ka+1)+(α"+α+k)i=0 不立 AHO α2+ka+1=0 の, α+α+k=0 2) A, Bが実数のとき A+Bi=0 の-2 から よって(k-1)(α-1)=0 [1] k=1のとき, ①, ② はともに 判別式をDとすると D<0であるから, αは虚数解となり, 条件に適さない。 [2] α=1のとき, ② から k=-2 (R-1)α+1-k=0 →A=0, B=0 ゆえに R=1 または α=1 Q2+α+1=0 D=12-4·1·1=-3 (実数 αに対して )(α++>0 これは①も満たす。 であることから, 示しても よい。 したがって k=-2 する。 別解 [O, ② を導くところまでは同じ] 2から k=-α°-a これは,高次方程式(αの3 次方程式)。 高次方程式の解法は,p.95 以後を参照。 のに代入して整理すると -1=0 ゆえに (α-1)(α+a+1)=0 1 2 3 αは実数であるから a2+a+1={α+ 2 >0 4 α-1=0 すなわち k=-2 よって Q=1 このとき,3から O0