線の引いてあるacというのは例えばa=3,c=7で21なのか37のどちらのことを指しているのでしょうか？ よろしくお願いします

b.cは整数で, a, bは互いに素であるとする。 1 ac がbの倍数であるとき, cはbの倍数である。 2 aの倍数であり, bの倍数でもある整数は, abの倍数である。 1 w

印のついているところはどこから求めるのでしょうか？ a1の時が分かりません よろしくお願いします

9 数列の極限 ample 9★★★★ をaとおく。さらに, b。= Z ax とおく。 次を求めよ。 qple =0 bn (3) lim #→ n (03 会津大) ) a (e) bm key 各象限にある格子 点と軸上の点に分けて数 (1) |x|+lylsnの表す領域 は右の図の斜線部分である。 n22 のとき、この領域で x>0. y>0 の部分にある格子点 の個数は y=ーx+n x+ル える。 一君 X yーメール 一ル y=ーズール 宮ー(aー1)であるから a=ラn(n-1)-4+4n+1=2n°+2n+1 d =1. a=5 はこれを満たす。 よってa.=2n+2n+1 答 (2) 6。=Ea=1+M (2k°+2k+1) Support こa=ao+2a =0 k=1 =n+1(2r+4n+3) 国 (3) lim n

線の引いてあるところで、なぜそのような関係になっているのでしょうか？ その関係はどの式からわかりますか？ よろしくお願いします

11 漸化式と極限 Example 11 *★★** (n=1, 2, ………) で定められる数列{an} がある 2 3 an a=3, an+1 an 不等式 a,>V6 を証明せよ。 不等式 a-6く (an-16)? を証明せよ。 (17 大阪府大) ( lima, を求めよ。 key 数学的帰納法で示 解答(1) [1] n=1 のとき, a=3>V6 より成り立立つ。 [2] n=k のとき、 ax>V6 が成り立つと仮定すると す。 V6=(a-/6)。 2ak a4+1-/6=+6 よって、n=k+1 のときも成り立つ。 [1]. [2] から,すべての自然数nについて an>V6 終 - 2ak (2) 2<、6<a。 であるから G-/5-(an-/6)<(an-16_1(an-/6)* 国 *今母が在の方が大きくなる。 2a。 2-2 (3) b,=a,-V6 とおくと, (2) から key (2)の不等式を繰り 返し用いて、はさみうち この関係式を繰り返し用いると, n22 のとき 0くん、くーのぷく合めざく の原理を利用。 424-1」6,24-1 16|-|3-6<1より lim b"=0 であるから、 2月-1 はさみうちの原理により lim b,=0 月→ 00 すなわち lima,=(6

波線が引いてあるところはどうやって式を立てたのでしょうか？ またなぜx→1+0はダメなのでしょうか？ よろしくお願いします

と定める。f(x) が x=1 で微 15導関数 Example 15 *★★★★★ [ax"+bx-2 (x21)…" A 関数/(x) を f(x)=D{ (芝浦工大) 分可能となるようなa, bの値を求めよ。 解答 F(x) が x=1 で微分可能であるとき,f(x)は x=1 で連続であるから key f(x)がx=aで lim f(x)=f(1) 微分可能ならば, f(x) x→1-0 は x=a で連続。また 1+(1-a)=a+bー2 の よって f(a+h)-f(a) lim ゆえに 2a+b=4 h h→+0 のから lim = lim h→-0 f(a+h)-f(a) h Q+←) h スから0に = lim 『7くから h h→+0 2ah+ah°+bh LO

なぜ最高次の項が波線のようになるのでしょうか？ f"xではないのでしょうか？ よろしくお願いします

F(x)の最高次の項を ax" (n>1, aキ0) とすると, f'(x)の| +3f(x) の最高次の項 16高次導関数 Example 16 ★★★★★ *の多項式で表された関数 f(x) が xf"(x)+(1-x)f(x)+3f(x)=0, f(0)=1 を満たす。 f(x)の次数を求めよ。 (2) f(x)を求めよ。 (神戸大) f(x)=0 となり, f(0)=1 と矛盾。 よって,f(x) は定数関数ではない。 項を ax" (aキ0) とおき。 xf"(x)+(1-x)fx) に注目する。 最高次の項は nax"-1 であるから, xf"(x)+(1-x)f'(x)+3f(x) の最高次の項は ーnax"+3ax" となり (-n+3)a=0 aキ0 であるから n=3 (2) (1)および f(0)=D1 から, f(x)=ax°+ bx°+cx+1 (aキ0) とおける。 f(x)=3ax°+2bx+c, f"(x)=6ax+26 これらを与式に代入して整理すると (9a+b)x+(46+2c)x+c+3=0 これがxについての恒等式であるから 9a+b=0, 46+2c=0, c+3=0 答 3次 key (1) から,f(x)の 係数を定める。恒等式の 問題に帰着。 これを解いて a=ー 6° b= したがって f(x)=-+ポー3x+1 c=-3 (aキ0 を満たす) 2' ロ

波線の部分はどのように出てきたのでしょうか？ よろしくお願いします

解答 f(x) がx=1 で微分可能であるとき,f(x) は x=1| key f(x) が x=aで と定める。f(x)が×3D1 で微 15 Example 15 ★★★★★ [ax+ bx-2 (x21) 関数(x) をf(x)=+(1-a)x° (x<1) (芝浦工大) 分可能となるようなa, bの値を求めよ。 微分可能ならば,f(x) は x=a で連続。また lim f(x)=f(1) で連続であるから ズ→1-0 1+(1-a)=a+b-2 f(a+h)-f(a) よって lim h→+0 ゆえに 2a+b=4 f(a+h)-f(a) のから lim カー+0 lim h→-0 h = lim h アラスがらのF 近っ7くから A→+0 2ah+ah?+bh h h→+0 aスィ ba-lim = lim (2a+ah+6)=2a+b=4 h→+0 lim h→-0 tes+a ( ie また h ーから0に = lim 三 h カ→-0 (5-2a)h+(4-a)h?+h° lim h ス4(1-0nー 0-14 = lim {5-2a+(4-a)h+h}=5-2a h→-0 よって,f(1) が存在するための条件は 4=5-2a ゆえに a= このとき, ①から 6%=3

関数の連続で波線の部分はどの式から出てきたのでしょうか？ よろしくお願いします

4関数の連続 Example 14 ★★★★★ x2nーx2mー1+ax+bx x2n+1 を求めよ。 .2n- F(x)=lim (2) 上で定めた関数 f(x) がすべてのxについて連続であるように, a. ho 値を定めよ。 #→ 0 [01 公立はこだて未来大) 合 (1) [1] |x|<1 のとき limx"=0 であるから #→ 0 f(x)=ax°+ bxr 12] x=-1 のとき f(-1)= ー6+2 2 [3] x=1 のとき f(1)=D" a+b 2 key 各項の等比数列が 収束するように, 分母· 分子をx2n で割る。 [4] ||>1 のとき 1- f(x)=lim 11 a b r2n-2 x2n-1 x -=1- x 女 合 1 1+ xen カ→ 0 (2) f(x) が x=-1 で連続となるための条件は lim f(x)= lim f(x)= f(-1) key f(x)が x=p で 連続 ズ→-1-0 ズ→-1+0 → lim f(x) ーp-0 a-b+2 よって 2=aーb= = lim f(x)= f(b) f(x) が x=1 で連続となるための条件は x→p+0 Support lim f(x)= lim f(x)=f(1) x→1-0 f(x) が x=-1, x=1 で連続と ズ→1+0 a+b よって a+b=0= 2 なるように,a, bの値を 定める。 2) 0, 2から a=1, b=-1 答 e A0 り こ

数列で、波線の付いているところはどうやって求めるのでしょうか？

数列の極限 19 Example 9 ★★★★★ をanとおく。さらに, bn=2 an とおく。次を求めよ。 k=0 bn (3) lim (2) b (03 会津大) 2→ 0 n (1) an 解答(1) x|+lylsn の表す領域 は右の図の斜線部分である。 n22 のとき,この領域で x>0, y>0 の部分にある格子点 key 各象限にある格子 点と軸上の点に分けて数 える。 以y=ーx+n yーx+ル n x y=xーn y=ーメーn の個数は -n =n(nー1)であるから ガー1 =1 4,=n(n-1)-4+4n+1=2n°+2n+1 do=1, a;=5 はこれを満たす。 よって an=2n?+2n+1 答 o12上26+1) Support

積分していくと答えは赤で囲ったものになるのですが、なぜでしょうか？ よろしくお願いします

20 Sdx 1-ズ Dda 10gli-ス1+ loglitx| +C log |ース 1-C tC 2 log1i+ス1 +C 7 (0g ニ 2

線の引いてあるところで、平行線と線分の比はわかるのですが、どう考えれば下線部のようになるかがわかりません よろしくお願いします

【定理5の証明】 △ABC の中線 BE と中線 CFの交点をGとする。 また,中線 AD と中線 BE の交点をG' とする。 このとき,まず2点G, G'が一致することを示す。 A A F E E B B D C 中点連結定理により 5 FE / BC, BC: FE=2:1 となるから BG:GE=BC: FE=2:1 *平行線と線分 よって,点Gは線分 BE を2:1 に内分する。 の比 同様にして BG’:G'E=AB: ED=D2:1 よって,点G'は線分 BE を 2:1 に内分する。 線分 BE を 2:1 に内分する点は1点だけであるから, 2点 G, G'は一致する。したがって, 3本の中線は点Gで交わる。 また,AG:GD= BG:GE= CG: GF=2:1 であるから, 3本の中線が交わる点は各中線を 2:1 に内分する。 終