量子力学、有限井戸型ポテンシャルの問題です。 (5)がわかりません。V_＊=π^2hbar^2/8ma^2と求めました。

以下の問I、II に答えよ。ただし、プランク定数を 2mで割った定数をんとする。 I.1次元のポテンシャル中の質量mの粒子を量子カ学的に取り扱う。粒子の座標をとし、ポテ ンシャルをV(z)とする。aと %を正の定数として、図1のように| >«の領域でV(z)= % で|<』の領域でV(z) = 0のとき、V%の値を小さくしていったところ、V%<V,のときに東 縛状態が一つだけになった。 (1) 図2のようにV% が無限大のとき、すなわち ||>aの領域でV(z) が無限大で || Saの領 域でV(a) = 0のとき、基底状態のエネルギーおよび第1励起状態のエネルギーを求めよ。 (2) 図1のポテンシャルでV%> V,のとき、基底状態の波動関数および第1励起状態の波動関 数の概形を描け。 (3) 図1のポテンシャルでV%> V。のときを考え、基底状態のエネルギーと第1励起状態のエ ネルギーをそれぞれ Eo, E, とする。このポテンシャルを、図3のように、a<0の領域で はV(z) が無限大となるように変更する。変更後の系の基底状態のエネルギー Eを Eと EEのうちの必要なものを用いて表せ。 (4) V,を求めよ。 (5) 図4のように、|2| < 3a の領域および ||> 5a の領域でV(z) = V./2で3a< ||| < 5aの領 域でV(z) = 0のとき、束縛状態の数を答えよ。厳密に導出する必要はないが、根拠を簡 潔に記すこと。またすべての束縛状態の波動関数の概形をエネルギーが小さい順に描け。 V(2) V(2) V% * E ーa 0 a ーa 0 a 図1 図2 V(2) V(x) Vo Iv./2 0 a ー5a -3a 0 3a 5a 図3 図4

奇関数で－2tが消えるのはわかりますが、1行目から2行目への式の変形が分かりません。どうして、2が∫より前になって、1から０になったんですか？ もし公式があったら、それも教えてほしいです。

0 a=(3°-2t+a)dt -2(3パ+a)d) 2 +at| =2+2a 1 カが て

なんで下のグラフで、点線部分があるんですか？

関数y=x|x°-3| のグラフをかけ、 (i) y=x°-3x (xS-V3, J3<x)のとき を調べ,増減表をかけばよい.そのとき,定義域に注意する。 2 関数の値の増加 減少 絶対値記号を含む関数のグラフ 207 heck 375 題 対値記号の中かリス上が具かで場合分けをして、 え方) まず,絶対値記号をはずす。 基合分けをしたそれてれの関数について,yの体豆 A(A20) \4|=|-A (4<0) [x-3 (xS-V3, V3 <x) -3|= ーx+3(-V3<x<、3) x?-3 1-x°+3x(-V3<x<、3) x-3x (xS-V3, (3 <x) ソミ より, より, (x+/3)(x-3)20 ゾ=3x°-3=3(x+1)(x-1) ア=0 とすると, これは,区間xミ-V3, V3<x にない。 i) ソ=ーx°+3x (-V3<x<『3)のとき ゾ=-3x°+3=-3(x+1)(x-1) y=0 とすると, これは,区間 -V3<x<V3 にある。 (i). (ü)より, yの増減表は次のようになる。 のとき、 x=-1, 1 xS-(3,(3 <x のとき、 -3<xく、3 3x°-3=0 より, x-1=0 つまり,x=±1 x=-1,1 x -1 1 V3 区間により,関数が違う ので注意する。 x=3, -3 のときは、 yキ0(y'は存在しない) であるが,その前後でy の符号が変わるので,こ の点でも極値をとる。 くF(-x)=-x|(ーx)-3| =-x|x°-3| =-f(x) より,f(x) は奇関数で あるから,グラフは原点 に関して対称である。 y+ 0 0 極大 極小 極大 極小 0 -2 2 0 第6章 よって,グラフは右の図 のようになる。 YA 2 0-(6) J /3 0 1 x 品 -2 Ocus 絶対値記号を含む関数のグラフをかく → 場合分けして増減や極値を調べる 0S9S

偶関数、奇関数の性質を用いて、定積分を求める問題です！ 途中式を詳しく書いていただけると嬉しいです🙏🏼

J- 2 coS xsin°xdx (6) 5

奇関数となるのがわからないです。

別解 T af(cos.a)de: | f(cos a)da 置換積分のしかたを変えて解い てみます。 2 「(+)(cosa) da= …3 2 だから,3 が成り立つことを示せばよい。 T t=+ とおくと 2 のとき 2 ーt=ェ+ de = dt の左辺= (cos (t-)) T tf( dt ーT T 2 f(sin t)dt ここで,f(z) は偶関数だから f(sin(-t) = f(- sint) = f(sint) ゆえに,tf(sin t) は奇関数であり f(sin t)dt = 0 よって,3 は成り立つ。 ■解法のポイント(121 偶関数 f(z), 奇関数 g(a) に対しては ra | (x) da = 2| f(x)da, | g(2)da a が成り立つ。 リニ

どこが間違っていますか？ 教えてください... 答えは2/7です。

COSL Sin'z de - 2Jó cos2Sin'I d 2LoimIsin'g信2 sinz. 6siw'x-05L dI - 2- 125号(021 gas dx 111A=2 A=テ 0 00Sス' カ ytが暮う.?

どこが間違っていますか？ 教えてください... 答えは2/7です。

COSL Sin'z de - 2Jó cos2Sin'I d 2LoimIsin'g信2 sinz. 6siw'x-05L dI - 2- 125号(021 gas dx 111A=2 A=テ 0 00Sス' カ ytが暮う.?

なぜ、これは奇関数なのでしょうか？😣

1 xe2x dx 0

最後の行はどのような解き方をしたら答えが出るのでしょうか？

(2) (ーx)cos(-x)=-xcosx, cos {2·(ーx)}=cos 2.x より, f(x)=xcosx は奇関数, g(x)=cos 2.x は偶関数であるから, Scrcos.x+cos2.x)dx=xcos.xdx+\"_cos2.xdx COs 2x dx x coS x dx + ーπ - Tπ ーπ Tπ cos 2.x dx=2→ sin2x| =0 2

この問題の最後の方について質問です ①の式を奇関数にするために、x^2の項と定数項を=0と仮定したのは分かりました。ですが、奇関数と言えるのはx^2の項と定数項を消した場合の事であって、与式が対称である事はいえないのではないのでしょうか？ もしかして、問題は「ある点」につ... Read More

曲線Fは曲線Gを×軸方向にか, y軸方向に q=f(p) だけ平行 | y=f(x) のグラフ Fが点M(p, q)に関して対称 これを示すことができればよいが、座標(p, g)がわ 3次関数 y=ax+ bx?+cx+d のグラフFは, F上のある点に関して対称であ 目目光。 3次関数のグラフの対称性 ntct 例題 219 ることを示せ。 (類 大分大) 一 対称な点(2p-x, 2q-y)がF上にある (x, y) F → 2g-ソテf(2カーx) M(p,9) ト からない。そこで y=g(x)のグラフが原点に関して対称 をとるか (20-x, 24-9) → g(-x)=-g(x)(奇関数) M es を利用する。すなわち, Mが原点0に移るようにF を平行移動すると, 移動後のグラフGの関数 ソ=g(x)は奇関数,すなわち y=ax+ex の形に なるはず,と考える。 |G 0 奇関数 X f(x)=ax°+ bx?+cx+d(a+0) とする。 また, y=f(x) のグラフFを×軸方向に-か, y軸方向に-g だけ平行移動したグラフをGとする。 Gの方程式は y+q=a(x+か)°+6(x+p)°+c(x+p)+d ソ=ax°+(3aか+b)x?+(3aが+2bp+c)x +aが+が+¢p+d-q ここで, 3ap+b=0, aが+bが+p+d-q=0 となるようにか, y=ar"+ex の 整理すると イyー(-q) =f{x-(-p)} の 形にする。 9を定めると 6 q=aが+が+p+d=f(p) aキ0 p=ー3a' 6? となり,奇関数である。43ap=-6 から 3ap+2bp+c このとき,①は y=ax"+(-+c)x 3a =ゆ+c よって,曲線Gは原点に関して対称である。 ち点 (一品イー品) に関して対称である。 3a 3a' T川する詳細は、次ページを参照。