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基本 例題 104 放物線がx軸に接するための条件
00000
次の2次関数のグラフがx軸に接するように, 定数kの値を定めよ。また、その
ときの接点の座標を求めよ。
(1) y=x2+2(2-k)x+k
(2) y=kx2+3kx+3-k
/p.177 基本事項
指針
2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をDとするとき,
2次関数y=ax2+bx+cのグラフが
D=0のとき
x軸に接する⇔D=b-4ac=0
を利用。
b
また,グラフがx軸に接するとき, 頂点で接するから,接点の
2a
b
x座標は,グラフの頂点のx座標 x=- である。
2a
(2) 「2次関数」と問題文にあるから k=0
D
解答
と
=(k-1)(k-4)
(1)2次方程式 x+2(2-k)x+k=0の判別式をDとする1) 12/12=62-ac(6=27)
2=(2-k)2-1.k=k-5k+4
2) 接点のx座標は, y=0
とおいた2次方程式
ax2+bx+c=0 の重解で
A (4, 01:
ー
グラフがx軸に接するための必要十分条件は
ゆえに (k-1)(k-4)=0
D=0
ある。
よって
k=1, 4
D=0のとき
グラフの頂点のx座標は、x=-
2(2-k) 2)
2.1
=k-2であ
るからk=1のとき x=-1, k=4のときx=2
k=1のとき (-1,0),
したがって、接点の座標は
k-2
X
k=4 のとき (20)
なお,k=1のときは
y=x2+2x+1
(2) f(x)=kx2+3kx+3-kとする。
y=f(x) は2次関数であるから
k=0
2次方程式 f(x) =0の判別式をDとすると
D=(3k)2-4·k·(3-k)=13k-12k=k(13k-12
グラフがx軸に接するための必要十分条件は D=0
=(x+1)2
k=4のときは
y=x2-4x+4
=(x-2)2
