log(n+1)<1+
1
2
重要 例題 170 数列の和の不等式の証明 (定
nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。
1
n
+1/+
+...+
<logn+1
基本 165 169 演習 175
② 13
指針 数列の和 1+1/+1/+
+
n
は簡単な式で表されない。 そこで,積分の助けを借
りる。
すなわち, 曲線 y=
=
式を証明する。
の下側の面積と階段状の図形の面積を比較して不等
3 1 -
自然数んに対して, k≦x≦k+1
y
y=
X
解答のとき
1
1
k+1
x
1/
I
1F
k
式ア
=
k+1 x
常に21-1/2 または 1/12 1/
y
=
x
k
+1 dx
1
④1
ではないから
k\
I
ck+1 dx Ck+1dx
Ck+1dx
0123… fn
n-1 n+1
x
1
k+1
k
k+1 Jk x
k
0
k
k+1
よって
1
k+1
Aから
Ck+1dx 1
<
x
k
YA
y=
1
1x
<
☐ 1
I
式
●k+1dx
k
x
n
S
k=1Jk
ck+1
k+1dx
x
<
n
k=1
n+1 B
[n+1
* S*** dx =S** dx = [logx]***
k=1Jk x
であるから
x
=log(n+1)
10g(n+1)<1+1/+1/3
0 123.n
50<0″
n-1
1
①
ck+1dx
n-1
n
n_1k+1 dx
Cから
①
k+1
x
R=1k+1
k=1Jk
x
n-1ck+1dx
dx
x
Sax=10gx = 10gnであるから
[10gx]-
12
1
+
3
この不等式の両辺に1を加えて
2
1+1/+1
1
+
+
3
=1,2,…, n
として辺々を加える。
●S+S2
n+1
n+1
+...+'
k=1,2,…, n-1
として辺々を加える。
1
+......+ <logn
<logn+1
n
④1
よって,①,② から, n≧2のとき 10g(n+1)<1+
次の不等式を証明せよ。 ただし, は自然数とする。
70
(1)1+2/+//+
22
....+.
32
n
<2-1
(n
+
2
213
②
+......+
1
n
H
<logn+1
[ (2) お茶の水大]
