(2)の問題についてです。 解説で、数学的帰納法を用いて証明しているのはどういう観点からなのか教えていただきたいです🙏

f(x)=1/12/(2x+2/12) とする。 1 > 0において, 関数 y=f(x) の増減と漸近線を調べてグラフの概形をかけ。 (2) 数列{In} がπ1 > 1, πn+1=f(xn) (n=1, 2,･･･) を満たすとき, n>1を示せ。 (3) (2) の数列{In}に対し, In+1−1 < (xn-1) を示せ。 また, lim In を求めよ。 2 3 n→∞

(2)の[2]の解説のところで、なぜ急に分数でk＋1が出てくるのですか？

91 □ BH n は自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 3 n 3 *(1) 1+2.123+3 (12) +...…..+n (23)=2(n-22 (1/2)" + 4 +4 (2) (n+1)(n+2)(n+3)• .....(2n)=2"-1.3.5 (2n-1) [4]

9m+1の【+1】はどこから出てきたのでしょうか？ 数学的帰納法の途中計算をです。

列で 201 差数 よって, n=1のとき, ① が成り立つ。 [2] n=kのとき①が成り立つ, すなわち 10 -1は 9の倍数であると仮定すると, ある整数mを用い て, 10-1=9m と表される。 n=k+1のときを考えると 10k+1-1=10.10-110(9m+1)-1 =90m+9=9(10m+1) 10m+1は整数であるから, 10+1-1は9の倍数 である。 よって, n=k+1 のときも ① が成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて ① が成り 立つ。 140

真ん中のあたりの丸をつけたところがわかりません

* つま 9 Think 例題 B1.48 漸化式と図形 ( 2 ) 右図のように,辺の長さが1である正三角 形からスタート(ステップ1) し, 多角形の各 辺を3等分し、3等分された辺の長さに等し 「考え方 解答 1つの辺に着目すると, になる.. 正三角形をその辺の真ん中に, 多角形の外 ステップ1 ステップ2 ステップ3 側に付加し,新たな等しい長さの辺をもつ多角形を作る操作を繰り返す. ステップの操作で作られる多角形をTとするとき, MADY 400/50/ (1) 多角形 Tに含まれる辺の個数 α および1辺の長さl, をそれぞれn を用いて表せ. (2) 多角形 T の面積 S を n を用いて表せ. ステップ/ (1) am は,α=3,公比4の等比数列より mny ln は, l1=1,公比の等比数列より、 3 漸化式と数学的帰納法 より, Sn+1=S+ 1/3 √3e₂ 4 Sn ズ (2) 多角形T+1 は, 多角形 T, に, 1辺の長さln+] の正 三角形がT" の辺の数、つまり, am 個加わる. 1辺の長さがl+1 の正三角形の面積は, 1 √√3 12/2xem1x -ln+1= 2 = √3 lut ² 2 - ln + 1² Xan S₁= Si3 より n=2のとき. /3 == へとなり、辺の数が4倍になり1辺の長さ ステップ S.-√3+2√3 (4)¹¹-√3+ n_l√3/4\k-1 = 4 12 9, k=1 -√3,3/31 (1) 4 20 Sn= 5 - 2 これは n=1のときも成り立つ. よって, an=3.4-1 1\n-1 ² 5 2√/33√/3 (1)-1 20 9 = √√3 √3 (1-(-)) √√3 12 1-4 2√3/3/3/4"-1 20 9, /3 (111) 12 Anjur **** 2n 3√3 (1) X3-4-¹-S.+13 (4) S...-S. + b₂ x 1. の種√3 より, = Sn+ ×3.4"=S+ 4 19 Sn+1-Sn-bn (鳥取大・改) B1-93 XPLO 隣接項S, S+1 の 関係を調べる. ln+1 -ln+1 第1章 Th ステップル S は1辺の長さ1 の正三角形の面積

⑴でどうしてn≧4になるんですか？3ではダメなんですか？

「考え方」 Think 例題 B1.38 漸化式 an+1=f(n) an a=1,(n+3)an+1= nan で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. n+3 解答1 漸化式は an+1= an+1=f(n) am となる. ここで, これをくり返すと 解答 2 漸化式の両辺に(n+2)(n+1) を掛けると 解答1 漸化式を変形して, このとき, 先にこの式→ かいて、どこから 完全に約分できるか みつけるか いっきに利 きるコ n -anと変形できて、f(n=" n+3 (n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)na, となる. b=(n+2)(n+1)nan とおくと、この式はbn+1=b"となる. ・① an autif(n)=f(n){f(n-1)gas)=f(n)f(n-1)(f(x-2) and) an+1=f(n)f(n-1)f(n-2).f (1) A₂= 3 漸化式と数学的帰納法 n an+1=n+3an 1+3= よって A3 = = 2+3a2= n4 のとき, ① をくり返し用いると､ n-1 n-2. n-3.n-4. <n+2n+1 (4) n 2 2+3 1 +3% 10 1 2 n-Ⅰ 3 中項目から n+2n+1 n n(n+1)(n+2) ・1=完全に約できる この式はn=1,2,3のときも成り立つ. 6 よって an=n(n+1)(n+2) a3 43 2'1 7 6 5 4 解答 2 漸化式の両辺に(n+2)(n+1)を掛けると, an = ht if an したがって, ここで,b=(1+2)・(1+11 b=(n+2)(n+1)na であるから. (n+2)(n+1)na²=6 an= (n+3)(n+2)(n+1)an+1=(n+2)(n+1)nan 6 n(n+1)(n+2) bn=bn-1=b"_2=......=bı とおくと、 04-06 より, =6 a₁ (h-1+3 b₁=6 √2+2 **** (89 最低でもん an h+2n+1 残るけど n-1 a n+2' b=(n+2)(n+1)na, とおくと, ②はbn+1= b, となり, =(x+2) これはすべての自然数nに対して成り立つ n-1 n+2 -...... a=1 (n+3)(n- a=1

数Ⅲの高次導関数の問題です。 (1)の解き方、答えは合っているのでしょうか？ また、他の3問の解き方を1問でもいいので教えていただきたいです🙇‍♂️

3.5 高次導関数 次の各関数の第k次導関数を求めよ。 (適当な次数までの導関数を計算することによって形を予測し、それが正しいことを証明する) (1) f(x)=(ax+b)" (a,bは定数、nは自然数) f(x)= n(ax+a)" (ax+b)^ =an(ax+b)^-1 f(x)=an(n-1)(ax+ey-2. (ax+e)' =a'n(n-1)(axe)-2 f) - dn(n-R+1) (ax+e)"^* f(x)=

この問題がわかりません 教えてください！

定石 150 数学的帰納法の3パターン 【定石問題 M 150 レベル 2- 例題】 nを自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 この問題は提出課題です。 1-2 2-4 + + 3-8 + n 2n n+2 2n

この問題を教えてください！！

定石 150 数学的帰納法の3パターン 【定石問題 M 150 レベル 2- 例題】 nを自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 この問題は提出課題です。 1-2 2-4 + + 3-8 + n 2n n+2 2n

数学的帰納法を使った証明の一部なんですけど、赤で囲った部分の途中式が省略されていてわからないので、詳しい途中式を教えてほしいです！！🙏ちなみに、特に計算をしなくてもk＋1をもとの式に代入すれば答えが出せるということはわかっているのですが、実際に計算をしてそうなるか確かめたい... Read More

〔II〕 n=kのとき, 等式が成り立つと仮定すると 1³+2³+3³+...+k³= 1 ³ + 2 ³ + 3³ + ... + k² = { k ( k + ¹)}² 2 両辺に(+1)を加えて,右辺を変形すると 1³+2³+3³+...+k³+(k+1)³ = {k(k+1)] ² + (k+ 1)² 2 2 { ( k + 1) ( k + 2) } ² 2 = {(k+ よって, n=k+1のときも等式は成り立つ。 以上から, すべての自然数nに対して等式は成り立 つ。

なぜan≠0を確認するのですか？0だと成り立たないのはわかりますが、なぜ初めにそれを確認しようという考えになるんですか？

考え方 Check 例題292 分数型の漸化式 ( 1 ) a=- Focus で定義される数列{an}の一般項an を求めよ. EUDO MALWARE 1 an+1= 2 9 ○ an の逆数 フェン [an] (s) + Dg=+D THR An 2-an これまでに学んだ漸化式の解法が利用できないか考える。ここ では,漸化式の両辺の逆数をとって考える. ここで,(bm- 1 - をbn とおくと, 与えられた漸化式は,例題285 +29 an (p.505) のタイプ (an+1= pan+g) となる よって, 解 an+1=0 と仮定すると, これをくり返すと, an-1=An-2=・・・・・・=α1=0 1 となり, α= -≠0 と矛盾するので, an 0 (n≥1) 与えられた漸化式の両辺の逆数をとると, 1 2-an 2 an+1 an an 1 an = an= 3 漸化式と数学的帰納法 *** an=0 1 2-1+1 --1 n=1のとき, α= ASTERKE (南山大) ituto Ce *********** とおくと, bn+1−1=2(6n-1),bx-1=1 したがって,数列{bm-1} は初項1,公比2の等比数列だから、 bn-1=1・2n-1 より, bn=27-1+1 SCD &+s+an+ an+1= &+as+ bn+1=26-1,b1=-=2 a1 となり,n=k+1 のときも成り立つ. よって、すべてのに対して, an≠ 0 が成り立つ. 421 5 (1 -$+187 HEJN の逆数 2-an より, an=0 のとき, αk=0 と仮定すると,n=k+1 のとき,k+1=- an :=0 α=2α-1 より, a=1 1=27-1+1 より, an= 分数型の漸化式は逆数で考える 10.3 例題292 で an≠0 は,これから学ぶ数学的帰納法 (p.532〜) を用いた証明もでき 104030 る. <an=0 の数学的帰納法による証明> 1/12/3=1 -≠0 トキノを確認するときとの ちがいは? (- 1 2-1+1 HOHES - C ak 2-ak *0 513 + CES また、分数型の漸化式は,例題292のように逆数を考える方法だけでなく,例題 293 (p.516) のように特性方程式を利用する解き方もある。 SET 8 数 列