CHART 多くの式の大小比較 予想して証明する
a>0, b>0, aキb のとき,
くの式の大小比較
指針>4つの式の大小を, 2つずつ (.C2=) 6通り全部比較するのは面倒である。
a°+6°
の大小を比較。
基本 26,28.3
a+b
2ab
Vab,
2
2
a+b'
a°+6?
3
a+b
な
三
2ab
2
-=2, Vab =V3,
2
a+b
27V
よって,
2ab
<Vab<-
a°+6°
であると予想がつく。
a+b
a+b
2
2で
この予想をもとに, 2つずつ大小関係を決めていく。
立条件
解答
Vab (a+b)-2ab_ vab (a+b-2/ab)
a+b
のVab
2ab
Aab=(Vab)?
a+b
atb
号成場
4Vab >0, Va-5
ら(a-5>0
Jab(va-vb)°
>0
atb
Vab> 2ab
a+b
よって
の
a+b
『aキbと(相加平均)2(相乗平均)により
>/ab
の
aキbから,等号不成工
2
リーー
a+6° ?
atb1?
日(/)-(ーナが_(a+が_(a-b)
「を含むから,平方
を比較。a-bキ0
2
2
4
>0
4
a+6°
a+b
a+6°
a+b
>0から
3
2
2
2
2
2ab
a'+6°
く。
2
の~3から
a+b
a+b
1a+6のとき。
2
参考 上の例題において, a=bのときは, ①, ②, ③それぞれで> を = におき換えた等
り立つ。すなわち
a=bのとき
=Vab=
a+b
2ab
a+b
三
三
三
2
2ab
また,
a+b
2
2
1
は逆数の相加平均の逆数である。これを調和平均 という。
1
a
6
上の例題の結果と から, 一般に, a>0, b>0に対して次のことが成り立つ。
ー ケ0< 0<x
(調和平均)<(相乗平均)<(相加)
