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-3x+7で
求めよ。
91
OOO○
重要 例題55
高次式を割ったときの余り
(1) nを2以上の自然数とするとき, x"-1を(x-1)°で割ったときの余りを求
【学習院大)
53
(重要防、
めよ。
(2) 3x100+2x7+1をx°+1で割ったときの余りを求めよ。
基本 53,54
さる。
指針>実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。b.88~90 でも学習したように,
ー1)(x-2)で
まりを考える。
割り算の問題 等式A=BQ+Rの利用
R の次数に注意,B=0 を考える
2章
がポイント。
(1),(2) ともに割る式は2次式であるから,余りは ax+b とおける。
(1) 割り算の等式を書いてx=1を代入することは思いつくが,それだけでは足りない。
そこで,次の恒等式を利用する。ただし,n は2以上の自然数, a'=1, b°=1
った余りは,1
整式または定額
x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件
お (x)を利用。
(2) x+1=0の解は x=±i
A, Bが実数のとき A+Bi=0→A=0, B=0
えて
1, 1,2
解答
a, b, cの値
(1) x"-1を(x-1)'で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b
とすると,次の等式が成り立つ。
x"-1=(x-1)Q(x)+ax+b
別解(1) 二項定理の利用。
x"-1={(x-1)+1}"-1
=,C(x-1)"+…+Ca(x-1)?
トかりを見つけ
両辺にx=1を代入すると
のに代入して
0=a+b すなわち
x"-1=(x-1)°Q(x)+ax-a
=(x-1){(x-1)Q(x)+a}
b=-a
(第1式)から
=(x-1){(x-1)"-24…+Ca}
+nx-n
なわち b=3
ゆえに,余りは nx-n
ここで,x"-1= (x-1)(x^-1+xカー2+ +1)であるから
x7ー1+x"-2+…+1=(x-1)Q(x)+a
また,(x-a)の割り算は微
下の練習は
に有効である。
分法(第6章)を利用するのも
有効である(b.305 重要例題
194 など)。微分法を学習す
る時期になったら,ぜひ参照
してほしい。
この式の両辺にx=1を代入すると
+cを
n個
で割ったとき
-)とすると,目
よって
b=-aであるから
b=-n
a=n
ゆえに,求める余りは
(2) 3x100+2x7+1をx+1で割ったときの商をQ(x), 余りを お0= (5)
ax+6(a, bは実数)とすると, 次の等式が成り立つ。
10+221
nx-n
から
-1)(x-2)46
3r+2)+Rd ]
3x100+2x7+1=(x°+1)Q(x)+ax+b
3100+2:97+1=ai+b
両辺にx=iを代入すると
(x)+a]+Rl
-1 を代入。
x=-iは結果的に代入し
なくてもよい。
O
100-(2)0-(-1)0-1, ア=()®;=(-1)*;=iであるから
3·1+2i+1=ai+b
味の
4+2=6+ai
a, bは実数であるから
したがって, 求める余りは
すなわち
4実数係数の整式の割り算で
あるから,余りの係数も当
a=2, b=4
然実数である。
2c+4
を代入してもよ
サ代感因さたの
マりが5で
(東京電機
(1) nを2以上の自然数とするとき, x"を(x-2)で割ったときの余りを求めよ。
55(2) x10+x"+1 をx°+4で割ったときの余りを求めよ。
練習
(p.94 EX39
EX37.39
19剰余の定理と因数定理
