この問題解けないことはないのですが本質的な部分がよくわかりません。 良かったら言語化していただけないでしょうか

基本 例題62 +x+1 で割 f(x)=x80-3x40+7とする。 表せ。 基本53,61, 重要55 (2) f(x)をx°+x+1で割ったときの余りを求めよ。 い。ここでは,これまでに学習した, 次の方針に従って進める。 ①高次式の値 条件式を用いて次数を下げる 割り算の問題 等式 A=BQ+Rの利用。B=0を考える 0+o+1=0 (1) oはx+x+1=0 の解であるから これを用いてまずのの値を求め,その値を利用してf(ω)の式の 次数を下げる。 (2) 求める余りは ax+bと表され f(x)=(x°+x+1)Q(x)+ax+b これにx=w を代入すると f(o)=aw+b LQ(x) は商 解答 (1) oはx°+x+1=0 の解であるから の+の+1=0 0=-o-1, w。+e=-1 の=oo°=o(-e-1)=-(@"+w)=-(-1)=1(*) 3S |=(w-1)(8"+e+1)=0 から =1としてもよい。 よって ゆえに oは1の虚数の3乗根でき また, 80=3·26+2, 40=3·13+1 であるから f(o)=o0-300+7=(w°)*.0°-3(w°)°.w+7 る。 =12%.(-o-1)-3·19.o+7=-4o+6 次数を下げて1次式に (2) f(x)をx+x+1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a, bは実数)とすると f(x)=(x°+x+1)Q(x)+ax+b f(o)=ao+b AA=BQ+R 割る式B=0を活用。 0°+o+1=0 であるから (1)から a, bは実数,oは虚数であるから したがって,求める余りは -4の+6=aω+6 a=-4, b=6 -4x+6 下の参考2を利用。 a, b, c, dが実数, zが虚数のとき 0 a+bz=0 → a=0 かつ b=0 が成り立つ。 2 a+bz=c+dz → a=c かつ b=d 証明 (O の証明] (←) 明らかに成り立つ。 (→)6キ0 と仮定すると z=ー 左辺は虚数,右辺は実数となるから矛盾。 b a よって b=0 このとき a=0 の証明は, (α-c)+(b-d)z=0として上と同様に考えればよい。 なお 上のの のけ h6の日のを一船の場合に拡張したものにあたる。

（2）の問題の解き方が解答を読んでも分かりません。 教えてください！

OOOO0 重要例題58 剰余の定理の利用 (3) (1)f(x)=x°-ax+b が (x-1)? で割り切れるとき,定数a, bの値を求 めよ。 (2) nを2以上の整数とするとき, x"-1 を(x-1)?で割ったときの余り を求めよ。 【学習院大) 基本 54 CHART O OLUTION 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 次数に注目 22 余りには剰余の定理 1 f(x) がx-1で割り切れ, 更にその商がx-1で割り切れる。 (2) 次の恒等式を利用する。ただし, nは自然数とし, α°=1, 6°=1 である。 a"-b"=(a-b)(α"-1+a"-?b+a-36+ +ab”-2+6"-1) (1)(x-1)? で割り切れる → f(x)3 (x-1)°Q 解答 f(1)=0 10 -a a-1 1 (1) f(x)は x-1 で割り切れるから ゆえに 1 ーa+1 6=a-1…① よって 1-a+b=0 天 11 ーa+1 0。 f(x)=x°-ax+a-1 =(x-1)(x°+x+1-a) g(1)=0 したがって )-3-3-3 ←条件から, g(x) もx-1 g(x)=x°+x+1-aとすると ゆえに で割り切れる。 よって 3-a=0 a=3 これをOに代入して (2)x"-1 を2次式(x-1)? で割ったときの商をQ(x), 余り を ax+b とすると, 次の等式が成り立つ。 b=2 x"-1=(x-1)°Q(x)+ax+6 合割り算の基本公式 両辺にx=1 を代入すると A=BQ+R 0=a+b よって b=-a ゆえに x"-1=(x-1)°Q(x)+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+a} x"-1=(x-1)(x"ー1+x"-2+… +x+1) であるから ← (x-1)°Q(x)+a(x-1) 両辺に x=1 を代入すると 合1=x° であるから, 左辺 の項数はx°から x"-1 ま よって a=n ゆえに したがって, 求める余りは b=-a=-n nx-n での n個 PRACTICE …58

4n+9と3n+8の最大公約数とn+1と5の最大公約数が等しくなる理由がわかりません。教えて頂きたいです。

例題 71 4n+9と 3n+8の最大公約数が5になるような50 以下の自然数n をすべて求めよ。ただし, 次のことを用いてよい。 等式 a=bq+rを満たす自然数 a, b, q, rについて, aとbの 最大公約数はbとrの最大公約数に等しい。 4n+9=(3n+8)·1+n+1, 3n+8=(n+1)-3+5 よって,4n+9 と 3n+8の最大公約数はn+1と5の最大公約数に等しい。 ゆえに,n+1 は5の倍数である。 また,2<n+1<51 であるから n+1=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 したがって n=4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49 「答 2つの自然数 A,Bの最大公約数を(A, B) で表すと (4n+9, 3n+8)=(3n+8, n+1)3 (n+1, 5)

写真の青線の部分がわかりません。 ｢○の倍数であるが、△の倍数でない｣の△の数字はどうやって見つければよいのですか？

例題 38 7n+50 と 2n+16 の最大公約数が6になるような 50以下の自然数 nをすべて求めよ。 等式 a=bq+r を満たす整数a, b, q, rについて, aとbの最大公約数はbとrの 最大公約数に等しいことを利用する。 7n+50=(2n+16)·3+(n+2) 2n+16=(n+2)·2+12 よって、7n+50 と 2n+16 の最大公約数は, n+2と 12の最大公約数に等しい。 したがって, 7n+50 と 2n+16の最大公約数が6のとき, n+2は, 6の倍数である が,12 の倍数でない。 また,(3<n+2<52であるから 指針 解答 →自数 1以上 3hg2 s3 「tる SoRで →2 く32 n+2=6, 18, 30, 42 よって n=4, 16, 28, 40 「答

写真の青線の部分がわかりません。 ｢○の倍数であるが、△の倍数でない｣の△の数字はどうやって見つければよいのですか？

例題 38 7n+50 と 2n+16 の最大公約数が6になるような 50以下の自然数 nをすべて求めよ。 等式 a=bq+r を満たす整数a, b, q, rについて, aとbの最大公約数はbとrの 最大公約数に等しいことを利用する。 7n+50=(2n+16)·3+(n+2) 2n+16=(n+2)·2+12 よって、7n+50 と 2n+16 の最大公約数は, n+2と 12の最大公約数に等しい。 したがって, 7n+50 と 2n+16の最大公約数が6のとき, n+2は, 6の倍数である が,12 の倍数でない。 また,(3<n+2<52であるから 指針 解答 →自数 1以上 3hg2 s3 「tる SoRで →2 く32 n+2=6, 18, 30, 42 よって n=4, 16, 28, 40 「答

(2)なのですが、7nと3n+1が互いに素であるとき、n-2と7も互いに素になるのですか。

こなるような50 以下の自然数 が互いに素になるような 100 以 下の自然数は全で 7n と また,nは50 以下の自然数より、 いくつあるか、 ここで,5n+6 と 3n+1の最大公約数は,n-4と n-4と13の最大公約数が13となるのは,n-4 ユークリッドの互除法を文字式について利用する。 3n+1=(2n+5)×1+n-4 2n+5=(n-4)×2+13 = b+r の形の役 を、 が定数のみに なるまで続ける。 13の最大公約数に等しい。 が13の倍数のときである。 1Sn550 したがって、 -3Sn-4<46 50 以下の自然数とい う条件から、n-4の 値の範囲を定める。 よっ この範囲において,13の倍数n-4は、 0, 13, 26, 39 よって,n-4=0, 13, 26, 39 より、 n=4, 17, 30, 43 第 238. (2) 7n=(3n+1)×2+n-2 3n+1=(n-2)×3+7 - 7nと3n+1が知いに素であるとき、n-2とてもなるまで続ける。 互いに素である。 したがって,求める個数は, n-2と7が互いに素 であるような100 以下の自然数nの個数に等しい、 nは 100 以下の自然数より, a=bq+r の形の変 を、rが定数項のみ こ 1a TO7 1Sn<100 10+25 したがって, 233-10 -1Sn-2<98-2)+ ここで この範囲において, n-2が7の倍数となるのは、 7×14 これを①n-2=7×0, 7×1, 7×2, ……, の より, 15個- 100-15=85(個) よって,求める個数は, すなわち

カッコ1の問題で、解答の意味が分かりません。 教えてください

SOOO00 504 基本 例題126 互除法の応用問題 (1) 2つの整数 m, n の最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一。 ることを示せ。 (2) 7n+4 と 8n+5が互いに素になるような 100 以下の目然数nは全部でい。 つあるか。 p.501 基本事項] laとbの最大公約数 指針> 最大公約数が関係した問題では, p.501 基本事項1 (*)で示した, 右の定理を利用して, 数を小さくし ていくと考えやすい。 本間のように,整式が出てくるときは, まず, 2つの 式の関係を a=bq+rの形に表す。 次に,式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 a=bq+r 等しい 50 bとrの最大公約数 解答 2数A, Bの最大公約数を (A,B) で表す。 口(1) 3m+4n=(2m+3n)·1+m+n, o 2m+3n=(m+n)·2+n, (差をとって考えてもよい。 3m+4n-(2m+3n)=m+n 2m+3n-(m+n)=m+2n m+2n-(m+n)=n m+n=n·1+m (3m+4n, 2m+3n)=(2m+3n, m+n) = (m+n, n)=(n, m) したがって, m, n の最大公約数と 3m+4n, 2m+3n の最 よって m+n-n=m e 大公約数は一致する。

線を引いたところの意味がわかりません… 説明お願いします😭

1 5n+6と 3n+1の最大公約数が13になるような50以下の自然数 文字式の互除法 (「 の 252 nをすべて求めよ。 いくつあるか、 カが a 5n+6=(3n+1)×1+2n+5 3n+1=(2n+5)×1+n-4 2n+5=(n-4)×2+13 ここで,5n+6 と 3n+1の最大公約数は,n-4と 13の最大公約数に等しい,? n-4と13の最大公約数が13となるのは, n-4 が13の倍数のときである。 また,nは50 以下の自然数より, a=bq+r の形の変形 を,rが定数項のみに なるまで続ける. 0 IS-v50 以下の自然数とい 1SnS50 う条件から, n-4の したがって, -3<n-4<46 この範囲において,13 の倍数n-4は, 0, 13, 26, 39 よって,n-4=0, 13, 26, 39 より, n=4, 17, 30, 43 ( x サ チ-8 値の範囲を定める。 et+01x-ra()

数学得意な方に質問です、問14教えて下さい。 …整数Aをxについての整式Bで割った時の商Q、余りをRとする時にA＝BQ＋R、 Rの次数く（←不等号のつもりです）Bの次数 と教わったのですが成り立ちますか？？

含む整式では、ある特定の文字についての整式とみて, 割り算を行うことができる。 例題 4 整式とみて, AをBで割ったときの商と余りを求めよ。 A=x°-3xy?ー2y, B=x+yのとき, A, Bをxについての 15 右の計算より, x-xy - 2y? 3xy°-2y° 解 3 x+y)x° 商は x°-xy-2y x°+x°y -xy-3xy? ーx°yー xy? -2xy?-2y° 余りは0 +6pS 志 志2xy?-2p3 0 次の計算をせよ 向14 A=x°+2x°vーxv°ーv?, B=x+y のとき, A, Bをxについての整式 とみて, AをBで割ったときの商と余りを求めよ。 ID p.20回 20

この問題の(4)について質問です。どうしてa6乗を作ってみようという考えが出てくるんですか？これが思い浮かばない場合他の数でもできますか？

基本例題116 割り算の余りの性質 次の数を7で割った余りを求めよ。 (1) a+26 2019 a (2) ab (3) a Ap.485 基本事項1, 3 指針> 前ページの基本事項 3の割り算の余りの性質 を利用してもよいが, (1)~(3) は, a=7q+3, b=7q+4と表して考える基本的な方針で解いてみる。 (3)(7q+3)*を展開して, 7×○+▲の形を導いてもよいが計算が面倒。a=(a^)° に着日 し、まず,a' を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 (4) 割り算の余りの性質4 α"を mn で割った余りは, r"をmで割った余りに等しい を利用すると,求める余りは「32019 を7で割った余り」であるが, 3019 の計算は不可能 このような場合,まず α"を m で割った余りが1となるnを見つけることから始める のがよい。 A=BQ+Rが基本 (割られる数)%3 (割る数) × (商)+(余り) CHART 割り算の問題 解答 別解 割り算の余りの性質を a=7q+3, b=7q'+4 (q, q'は整数)と表される。 (1) a+26=7q+3+2(7g'+4)=7(q+2q')+3+8 利用した解法。 (1) 2を7で割った余りは 2(2=7-0+2)であるから, 26を7で割った余りは 2.4=8を7で割った余り1 に等しい。 ゆえに,a+26を7で割っ た余りは3+1=4を7で 割った余りに等しい。 よって, 求める余りは 4 (2) ab を7で割った余りは 3.4=12 を7で割った余り に等しい。 よって,求める余りは 5 (3) a' を7で割った余りは 3=81 を7で割った余り に等しい。 よって,求める余りは 4 =7(q+2q'+1)+4 したがって,求める余りは (2) ab=(7q+3)(7q'+4)=49qq'+7(4g+3g')+12 =7(7qg'+4q+3q'+1)+5 したがって,求める余りは (3) a=(7q+3)=49g°+42q+9=7(7q°+6q+1)+2 よって,a'=7m+2(mは整数)と表されるから a*=(a)°=(7m+2)?=49m*+28m+4=7(7m*+4m)+4 したがって,求める余りは (4) a°を7で割った余りは, 3° を7で割った余り6に等しい。 よって,(α°)=aを7で割った余りは, 6°=36 を7で割った 余り1に等しい。 a2019=a2016g=(a°) **.a° であるから, 求める余りは, 1336.6=6 を7で割った余りに等しい。 したがって, 求める余りは 6 4 5 4 336