二つの式を＝と置いて、判別式で重解を探すやり方だとなんでダメなのでしょうか？

重要 例 102 2次方程式の共通解 2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k = 0 がただ1つの共通の実数解をも つように定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 基本 97 2つの方程式に共通 な解の問題であるから、 一方の方程式の解を求めることができ 指針 たら、その解を他方に代入することによって、 定数の値を求めることができる。 しか し、この例題の方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では,次の解法 が一般的である。 2つの方程式の共通解を x =α とおいて, それぞれの方程式に代入すると ①, a²+a+k=0 2a²+ka+4=0 これを α, kについての連立方程式とみて解く。 ② から導かれる k = - α²-α を①に代入(k を消去) してもよいが, 3次方程式と なって数学Ⅰの範囲では解けない。 この問題では、最高次の項であるα² の項を消去す ることを考える。 なお, 共通の 「実数解」 という問題の条件に注意。 CHART 方程式の共通解 共通解を とおく *****.

49(2)等号成立条件、a+b=1/a+bがすなわちa+b=1になるのはどのような計算から言えるのですか？ 両辺にa+bを掛けたのですがそれだと重解になってしまいませんか？

23ab a=bのときである。 x2+2xy+2y2 (x+y)²+y^ るから 20 ²M0 +6y2 -=0 かつy=0, ある。 等なじゃないの ると a+46)2 であるから 46 解答編 等号が成り立つのは √v-V60 すなわ a=bのときである。 49 (1) 94b0.10であるから、相加平均と 相乗平均の大小関係により 1 9ab + -=²√ ab よって 1 9ab+ ≥6 ab 等号が成り立つのは, 1 9ab.. =2.3=6 ab 1 a> 0, b>0 かつ 9ab = 4 ab' すなわち ab= のときである。 3 (2) a+b>0, 相乗平均の大小関係により a+b+ 1 a+b よって a+b+ 等号が成り立つのは, 1 ->0であるから,相加平均と a+b よって ≥2 (a+b).. 1 a+b 51 (1) 左辺右辺 ≧2 a> 0,6> 0 かつ a+b= すなわち a+b=1のときである。 1 a+b 1 a+b' 502 (ax+by) - (a+b)(x+y) =2ax+2by-(ax+ay+bx+by) =ax-ay+by-bx=(a-b)(x-y) a<b, x<yであるから したがって (a-b)(x-y) >0 よって 2ax+by)> (a+b)(x+y) a-b<0,x-y<0 =2 =(x^+y^)(x2+y2)(x^3+y3) 2 =x+x^y2+x^y^+ y^-(x+2xy+y) =x2y2(x2+y2-2xy)=x2y2(x-y)^2≧0 (x+y^)(x2+ v2)> (313)2 11 数学Ⅱ A問題, B問題,応用問題

この方程式が2重解を持つ場合の【1】【2】の意味が分かりません 因数分解までは出来ました；；

基本例題65 3次方程式が2重解をもつ条件 3次方程式x3+(a-2)x²-4a=0が2重解をもつように、 実数の定数αの値を定 めよ｡ [類 東北学院大] 基本63 指針 方程式 (x-3)(x+2)=0の解x=3を, この方程式の2重解 という。 また 方程式(x+2)(x-2)=0の解x=-2を,この方程式の3重解という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)×(2次式)=0 の形に直す。 方程式が (x-α)(x2+px+q)=0 と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x2+px+q=0が重解をもち,その重解はx=α [2]x2+px+q=0がαとα以外の解をもつ。 → 2重解はx=α であるが,一方の条件を見落とすことがあるので、 注意が必要である。 0 解答 与えられた3次方程式の左辺をαについて整理すると (x2-4)a+x3-2x2=0 fr (x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0 (x-2){x2+(x+2)a}=0 7²-56-06- (x-2)(x2+ax+2a)=0 なお, [1] は, 2次方程式の重解条件と似ているが, 重解がxキαである (x = αが3重解で はない)ことを必ず確認するように。 a -キ2から 2.1 CD=3+ x-2=0 または x2+ax+2a=0 よって この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1] または [2] の場 82=18 30 合である。 DIRO [1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ。 2次方程式 D = 0 かつ 判別式をDとすると Ax2+Bx+C=0 の重解は D=α²-4・1・2a=a(a−8)であり, D=0 とすると α=0,8 B) ここで, aキー4 a=0, 8はαキー4 を満たす。 [2]x+ax+2a=0の解の1つが2で、他の解が2でない。 2が解であるための条件は 22+α・2+2a=0 これを解いて a=-1 このとき, 方程式は したがって ゆえに,x=2は2重解である。 以上から a=-1, 0, 8 a 2･1 ≠2 (x-2)(x-x-2)=0 (x-2)^(x+1)=0 A 次数が最低のについて 整理する。 また P(x)=x³+(a-2)x²-4a とするとP(2)=0 よって, P(x) は x-2を因 数にもつ。 これを利用して因数分解し てもよい。 0=2+88 105 x=- ()24 2章 ① について 11 高次方程式 [2] 他の解が2でないとい う条件を次のように考えても い。 他の解をβとすると,解と 係数の関係から 2β=2a β=2 から a=2

（3）が解説を読んでも分かりません。 教えて欲しいです。 問題手書きですみません

(2) 1502021年度 数学 〈解答> 1 2月6日実施分 (3) kx-- すなわち Ⅰ 解答(x)=2x-12-x-12/2 (1) f'(x)=6x²-x-1=(3x+1)(2x-1) f'(x)=0として 1 1 3 2 5483&J > (f(x) 増減表は上のようになるので 1 8 x=- のとき極大値 - 3 27' k<- ◆総合情報学部(2教科型英数方式)を除く x= xC f'(x) + 8 27 K 1 -=f(x) とおくと 2 X= y=h { y = f(x) るような定数kの値の範囲は, グラフを 考えて 13 2 0 2x{4x2-x-2(k+1)}=0 8 27 解答 数学 I 1/1/2のと の共有点が1つだけにな 1 2 0 78 のとき極小値- x = 0 または 4x²-x-2(k+1)=0 C 7 8' <k ()/ + y=k 1 3 4067020531498&T ・・・・・・a 7 8 180=8A-40 7 8 関西大学 - 2月6日 0 をとる。 8 27 30 1 2 y=f(x)/ A. (2) 関西大学 V=/ y= みの大 たな ②の Co 2

・（1）で、3/2はどうやって出すのか ・（2）で、どうして-12<a<0になるのか がわかりません。 教えてください！

140 3次方程式 3x (a+3)x2+α=0 について,次の問いに答えよ。 (1) 異なる3つの実数解をもつとき,定数aの値の範囲を求めよ。 ただ1つの実数解をもつとき,定数aの値の範囲とその実数解を求め よ。 (2)

(3)について質問です。 なぜkが最大のときS(a,b)も最大になるのですか？

23 2012年度 〔3〕 xy平面上で考える。 不等式 y<-x + 16 の表す領域をDとし, 不等式 |x-1|+|y|≦1の表す領域をEとする。このとき,以下の問いに答えよ。 0 (1) 領域Dと領域Eをそれぞれ図示せよ。 Level B 〇(②) (2) A (a,b)を領域Dに属する点とする。 点A(a,b) を通り傾きが-2a の直線 放物線 y=-x2 + 16 で囲まれた部分の面積をS(α, b) とする。 S(a,b) を a, bi 用いて表せ。 (3) 点A(a,b) が領域Eを動くとき, S(α, b) の最大値を求めよ。 25 曲線 (1) (2)

線で引いた式の変形が分からなくなりました。 よろしくお願いします🙇

その判 D=0のとき1個 D< 共有点の個数は D>0のとき2個 (2) (1) の場合と異なり, y を消去して得られるxの方程式はxの あることに注意。 この場合, 原点を通る直線y=mx は双曲線の三 図を利用する解法 も考えられる。 JART共有点 実数解 y=x+kをx2+4y²=20 に代入すると x2+4(x+k)2=20 整理して 5x2+8kx+4k²-20=0. の2次方程式の判別式をDとすると D=(4k)²-5(4k²-20)=-4(k+5)(k-5) って、求める共有点の個数は 接点重解は y=mx を 4x²-y2=4に代入して 整理すると (4-m²2)x2=4 ① -m²>0(⇔-2<m<2) のとき, I は異なる2つの実数解をもつ。 -m²=0(⇔m=±2) のとき, ① は0x2=4となり, 解をもたない。 7-m² <0 (5m<-? 25m) D0 すなわち -5<k<5のとき D = 0 すなわち k=±5のとき D< 0 すなわちん<- 5,5くんのとき 0個 m=-2 -1 -2<m<2 2個 *** 1個 YA 1 m=2 m<-2

この問題ってどのように解けばいいんですか？💦

練習 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 42 α = 0, a2=3, an+2-6an+1+9an=0

どうして私の解答じゃダメなのでしょうか？

Level 2007年度 〔1〕 y=x+h が平面において、放物線y=xをCとする。また、実数kを与えたとき、 で定まる直線を1とする｡ (1) -2<x<2の範囲でCと1が2点で交わるとき, kの満たす条件を求めよ。 () (2) kが1)の条件を満たすとき、Cと1および2直線x=-2, x=2で囲まれた3つの 部分の面積の和Sをkの式で表せ。 - ポイント (1) グラフを利用する解法と, 2次方程式の実数解の存在範囲を考える解法 がある。 前者の解法では,y=x-xとy=kの交点を考える方法,直接Cと1の交点を考え る方法が考えられる。 9 9 11 後者の解法では,-x-k=0の解を考えるが, この解法でも結局y=x²-x-kの グラフを利用することになる。 (2) 3つの部分の面積をそれぞれ定積分で表すが、そのまま計算を進めると計算量が多 くなる。 (x-a) (x-8) dx-(8-) ¹ の利用と式変形の工夫により計算量を少なくする。 解法 1 (1) y=x2, y=x+kより x=x+k すなわち x-x=k よってCとの交点のx座標は,放物線 C' y=x-xと直線l:ykの交点のx座標 に等しい。 y=x²-x=(x-1)² - 1/ で, C'は2点 (2,6), (22) を通り, ' とのグラフは右図のようになる。 したがって, -2<x<2の範囲で C' と'が2 点で交わる条件は <<2) (>²<D} (+²6<0) A 2 C':y=x-x 2 l': y=k IC ゆえに, 求める条件は - <k<2 [注1] 次のように, 直接 C との交点を考えてもよい。 放物線C:y=x2 と直線l:y=x+kが接するとき x=x+k すなわち x-x-k=0 が重解をもつから,判別式をDとすると 1 D=1+4k=0 ...... ( k=- このとき、接点のx座標はx=0であるか ら、-2<x<2の範囲で接する。 また, IC上の点 (2,4)を通るとき :. k=2 4=2+k よって右図より, -2<x<2の範囲でCと が2点で交わるときのんの満たす条件は 〔注2〕 Cと1が接するときのkの値は微分法を用いて 1 2 であるから、 接点の座標は y'=2x=1より, x=- 11 +kより, =-1として求めてもよい。 4 2 よって, k=- ... (2) Cとの交点のx座標を求める。 x2-x-k=0 x=x+k より x=1±√1+4k (-1<x<2) 2 とおくと ₁-1-√1 +4k B = α= 2 2 YA α O 1+√1 +4k 2 §1 2次関数 59 C:y=r O 1 (12-14) 82 2 1(k=2) x

接線の単元です。接する⇔重解という記述が引っかかっています。2枚目の写真ではどうしてこの解き方を使っていないのか、と言うのがよくわかりません。

次のものを求めよ。 おける法線の方程式 三有点のうち,点 (2,-1/4) コ, f(a)) における法線の方程式 1 -(x-a) f'(a) と曲線の方程式を連立させて E ーる接線の傾きは =1 ある。 星式は -(x-2) 以外の点の座標 p.327 基本事項 y=f(x)/ YA 法線の傾きをmとすると mxf'(2)=-1 よってm=- 洗 = -0 ・法線 基本 例題 207 2曲線に接する直線 | 2つの放物線y=-x2, y=x2-2x+5の共通接線の方程式を求めよ。 指針 1つの直線が2つの曲線に同時に接するとき, この直線を2つの曲線の共通接線 いう。 ① 一方の曲線 y=f(x)上の点A(a, f(a)) における接線の方 程式を求める。 [2] ① で求めた接線が他方の曲線 y=g(x) と接する条件から, aの値を求める。 接する重解の利用。 他にも検討で示したような解法も考えられる。 y=-x2 に対して y'=-2x 解答よって,放物線y=-x2 上の点 (a, -α²) における接線の方程式は y-(-a²)=-2a(x-a) すなわちy=-2ax+a² ① この直線が放物線y=x2-2x+5に も接するための条件は、 2次方程式 x2-2x+5=-2ax+α² すなわち x2+2(a-1)x-a²+5=0 ② が重解をもつことであ D=0 る。ゆえに,②の判別式をDとすると D -=(a-1)²-1-(-a²+5)=2a²-2a-4-2(a+1)(a-2) ...... ...... 基本 204 重要 208 演習 231 接する V (a,-a²) 接する y=-x-x (a,-a²) y=g(x)\\ | 接線が求めやすい方 を指針の手順 ① y=f(x) とするとこ y=x²-2x+5y-f(a)=f'(a) よって ゆえに (a+1)(a-2)=0 a=-1, 2 この値を①に代入して、求める共通接線の方程式は y=2x+1,y=-4x+4 接する y=f 接する y=x2-2x+5 y=-2ax+α²