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指針>2変数の不等式の証明の方法には, 前ページの検討の [1]~ [6] の方法が考えられるか、
が成り立つことを元性、
重要 例題196 2変数の不等
b-a
a+b
く
2
log b-loga
重要
0<a<bのとき,不等式Vab <
(岐阜大)
す。
最、
=tのおき換え の方針でいく。
6
a
の問題では 1ogbーloga=log-に注目し,
b
-1
a
b
1+
a
指針
b
く
b
log
a
2
a
不等式の各辺をa(>0) で割って
\ogt
解答
b
1
b
1+
a
b
a
く
6
log
a
不等式の各辺をa(>0) で割って
2
a
t-1-
ロニ=tとおくと, 0<aくbであるから t>1で, 不等式① は Vt<-
logt
1+t
と同催。
a
t>1のとき1ogt>0であるから, 各辺は正である。
1
log t
p, q, ", sが正のとき
く
ゆえに,各辺の逆数をとって
t+1
t-1
2(t-1)
t-1
<logt<
0<4く
各辺にt-1(>0) を掛けて
t+1
f(t)=ニ
t-1
f(t)=VF--logt
-logt とすると
t>1のとき
1
F()=
2/t
1_t+1-2/E_(VE-1)
2t/t
1
2tVt
2tt
f(t) は単調増加。
t
f(1)=0 であるから, t>1のとき
t-1
f(t)>0 すなわち logt<
VE
2(t-1)
g(t)=logt-
4
9(t)=logt-2+
とすると
t+1
三
t+1
t+1
t>1のとき
4_ (t+1)-4t _t?-2t+1
キ=(),6
t
1
g(t)
Ag(t) は単調増
ニ
t(t+1)?
9(1)=0 であるから, t>1のとき
2(t-1)
g(t)>0 すなわち
よって,2, ③により, 不等式④が成り立つから、 与えられた不等式は成り立
<logt
t+1
