例
正の整数 6 c が
の十がニc*
をみたすとき, 次の(1), (2), (3) を証明せよ.
(1) る 2 のいずれかは 3 の倍数である.
(2) の の のいずれかは 4 の倍数である.
(3) の 6 c のいずれかは 5 の倍数である で
住意の整数は, 3,3刀二1 (7 は整数) などの形で表せる。
【解答】
(1) 任意の整数は 3が, 3二1 (ク) のいずれかの形で表せ。
1
(3カ1) 三1.
よって, og, 2 がともに3の倍数でないとすると,
陀2 2
e3の余りは, 01
であるから, の十のキc* となり矛盾.
ゆえに, の十がゲーc* のとき, o, 2 のいずれかは 3 の倍数である. (約)
(2) 任意の整数は 47z, 4土1 47十2 (還ク) のいずれかの形で表せ,
(4が)ー8・27 =0,
(4女王1)"8(2?キカ)十1 三1, 9, (mod16)
(4太十2) "一8(2?十2)十4三4.
よって, の, 2 がともに 4の倍数でないとすると,
YS の余りは, 2, 5, 8 10 13
で16 の余りは, 0149
であるから, のがキc” となり矛盾.
ゆえに, の二がーc” のとき, Z, 0 のいずれかは 4 の倍数である. (絶)
(3) 任意の整数は5, 5刀二1 5友土2 (娘三ク) のいずれかの形で表せ,
5” =0,
ea (mod5)
(5妊2)*=4.
よって, 6, の c がすべて5 の倍数でないとすると,