下から3行目、BE:EDはなぜBP:DQになるのでしょうか。

★★★★ 四角形ABCD は円 0に内接する。 AB = 8, CD =DA = 5, ∠BAD=60° であり、対角線 ACとBDの交点をEとするとき, 次の値を求めよ。 (1) BD 3 円の半径R (2) BC (4) BE:ED 《ReAction 円に内接する四角形は, (対角の和)=180° を使え 求めるものの言い換え (3) 四角形の外接円の半径の求め方はわからないが, 三角形の外接円の半径の求め方はわかる。 一円0は△の外接円でもある。 (4) 線分の比を,三角形の面積比から考える。 (底辺の比) △ABE: △ADE (図1) 例題142) 0 図 1 図2 A とみる BE: ED D BE: ED=BP : DQ より (高さの比) B B とみる △ABC: △ACD (図2) C 1 それぞれの三角形の面積を求めやすいのは,どちらの方法か? ID CP 斜辺→ 思考プロセス

赤線のとこでsin60になるのかがわかりません、よろしくお願いします🙇‍♂️

30 立体の計量 四面体 OABC において,OA=OB=0C=7,AB=5,BC=7, CA=8 とする. Oから平面 ABCに下ろした垂線を OH とするとき、次 の間に答えよ. (1) ∠BACの大きさを求めよ. (2) 三角形ABCの面積Sを求めよ. (3) 線分AH, OH の長さをそれぞれ求めよ. (4) 四面体 OABCの体積 V を求めよ. 解答 (1) 三角形ABC に余弦定理を用いると, (広島工業大 ) 5 8 10√3 B 7 52+82-72_ cos BAC= 2-5-8 2 となるから ∠BAC=60° S-1AB-AC-sin60-1/3.5-8.1 60° ・8・ = 2 C

解答の４行目から意味がわからないのですが、なぜOBベクトル＋OCベクトルはAHベクトルになるのですか?

解答 基本 31 線分の垂直に関する証明 00000 0A+OB+OC=OHである点H をとると, Hは△ABCの垂心である。 (1)の点Hに対して, 3点0, G, H は一直線上にあり GH=2OG ABCの重心を G, 外接円の中心を0とするとき、次のことを示せ。 [類 山梨大 ] 基本 25 基本 71 (1) 三角形の重心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交 点である。 AH 0, BC 0, BH = 0, CA ±0 のとき AH IBC, BHICA AH・BC=0, BH・CA=0 ...... A であるから, 内積を利用して, A [(内積) =0] を計算により示す。 0は △ABCの外心であるから,|OA|=|OB|=|UC| も利用。 CHART 線分の垂直 (内積)=0を利用 (1) ∠A=90° ∠B=90° としてよ い。このとき,外心Oは辺BC, CA上にはない。 OH=0A+OB+OCから AH=OH-OA=OB+OC ゆえに AHBC =(OB+OC) (OC-OB) |=|OC|-|OB|= 0 同様にして B BH・CA=(OA+OC) ・(OA-OC) =TOA|-|OC = 0 また,① から AH=OB+OC=0, BH=OA+OC0 よって, AH = 0, BC≠0, BH ≠0, CA ¥ 0 であるから AH BC, BHICA すなわち AH⊥BC, BHICA したがって, 点Hは△ABCの垂心である。 直角三角形のときは ∠C=90° とする。 このとき,外心は辺AB 上にある (辺AB の中 点)。 ABC=OC-OB (分割) △ABCの外心 0→ OA= OB=OC (数学 A) 検討 635 外心, 重心, 垂心を通る直 線 (この例題の直線 OGH) をオイラー線と いう。ただし、正三角形 は除く。 1 位置ベクトル ベクトルと図形 (2)OG = OA+OB+OC 3 OA+OB+OCOH 5 = から OH=3OG <(1) から 3 OA+OB+OC=OH ゆえに GH=OH-OG=2OG よって, 3点 0,G, Hは一直線上にあり GH=2OG P 31 右の図のように、△ABCの外側に となるように, 2点P,Qをとる。 AP=AB, AQ=AC, ∠PAB=∠QAC=90° 更に、四角形 AQRP が平行四辺形になるように点Rをと B ると, ARIBC であることを証明せよ。

数Iです。赤でマーカーを引いてる問題がわかりません。解説よろしくお願いします🙇‍♀️

6 ⑥ (1) △ABCがAB=4,BC=2, cos∠ABC = 1/12 を満たしている。次の値を求めよ。 ① △ABCの外接円の半径 ② △ABCの内接円の半径 (2) △ABCにおいて, AB=4, AC = 5, ∠BAC=120° ∠BACの二等分線と辺BCと の交点をDとする。このとき, BDの長さを求めよ。 (3) 円に内接する四角形ABCD において, AB=8, BC=10,CD=DA=3である。 このとき、四角形ABCD の面積Sを求めよ。 (1) 1 (2) (3) 8√√15 15 4√61 9 1852 ② 【 (1): 各4点】 【(2)(3):各6点】 √15 5

数Iです。1枚目の写真が問題と答えです。赤でマーカーを引いてる問題がわからなくて、2枚目の写真が、自分で解いてでてきたやつです。解説よろしくお願いします🙇‍♀️

⑥ (1) △ABCがAB=4,BC=2, cos∠ABC=1/4 を満たしている。次の値を求めよ。 ① △ABCの外接円の半径 ② ABCの内接円の半径 (2) △ABCにおいて, A.B=4, AC = 5, ∠BAC=120°, ∠BACの二等分線と辺BCと の交点をDとする。このとき, BDの長さを求めよ。 (3) 円に内接する四角形 ABCD において, AB=8, BC=10,CD=DA=3である。 このとき、四角形ABCD の面積Sを求めよ。 (1) O (2) (3) 8√15 15 4√61 99 18√2 ② 【 (1): 各4点】 【(2)(3):各6点】 √15 5

数Iです。（2）の解き方を教えてください🙇‍♀️

⑥ (1) △ABCがAB=4,BC=2, cos∠ABC=1/4 を満たしている。次の値を求めよ。 ① △ABCの外接円の半径 ② ABCの内接円の半径 (2) △ABCにおいて, A.B=4, AC = 5, ∠BAC=120°, ∠BACの二等分線と辺BCと の交点をDとする。このとき, BDの長さを求めよ。 (3) 円に内接する四角形 ABCD において, AB=8, BC=10,CD=DA=3である。 このとき、四角形ABCD の面積Sを求めよ。 (1) O (2) (3) 8√15 15 4√61 99 18√2 ② 【 (1): 各4点】 【(2)(3):各6点】 √15 5

・数学① フ、へ、ホについてです 三枚目にふたつ疑問点書きました、よろしくお願いします🙇 一枚目は問題です、見にくくてすみません

〔2〕 四角形ABCD は円に内接しており Sin 460010A AB=1, AD=2, ∠BAD = 120°, sin∠ABC= 3/21 14 を満たしている。 BP=1+4+2.14(-2) /1200 BC 2 (1) BD = セ =7 (3) 下線部の条件を変更して, 四角形 ABCD の形状がただ一つに定ま るようにしたい。ここで,k, lを定数として, 下線部の条件を次の(ア) または(イ)に変更する。 1660 であり, 四角形ABCD は半径が- (ア) sin ∠ABC=k (イ) cos ∠ABC=! ここで, ∠ABCの大きさについて チ の円に内接している。 また ∠ABD < ∠ABC < 180°∠ADB が成り立ち さらに AC= ACx である。 3√31 近 V21 = 2 3 14 ACA が成り立つ。 巨 200 2R sin∠ABD = sin∠ADB = √21 14 2√7 3242) BC=1&t cos∠ABC ABC)x-8=0 COS ∠ABD= 5√√7 COS ∠ADB= =R 7 14 N7 1x A……① 21 3 COS ∠ABC = ± V 17 ニヌ 14 (数学Ⅰ. 数学A第1問は次ページに続く。) 7 ズーグ56:0 x2-201 V7 = x-8=0 189 (x8)(x+9) 7 56 7x2-√7x56:0 であるから x2(2cosABC)×8=BC= または BC= ハ 9=x+x=2xcosABC x22x10sABC-8⑦ √ X = Copy/125 である。 すなわち, 四角形ABCD の形状は2通り考えられる。 固くた 14 8 2C またはk = である。このことを用いて, 四角形ABCD の形状がただ一つに定まるよ うな(ア)のk.(イ)のそれぞれの条件を考える。 下線部の条件を(ア)に変更するとき, 四角形ABCD の形状がただ一 つに定まるようなkの条件は 1 下線部の条件を(イ)に変更するとき、四角形ABCD の形状がただ一 つに定まるようなしの条件はホである。ホ 5171217 の解答群 14 7 V21 ⑩ 0<k< 14 ① 0<ks- V21 14 V21 V21 2 0≤k<- ③ osks 14 14 → /21 /21 (5) <ks 14 14 sk< ・Sks 14 7 -6 x= 72 x= 14 (数学Ⅰ 数学A第1問は次ページに続く。) -7-

267微分の問題がわかりません 解説ページの矢印の下からわかりません

ABと円Iの接点を D. BCと円Iの接点をEとすると BD=BE= AD=1- AD=BC:DF a t って =BC. AD AB- a²+a よって _ Aにおける と,点Bにおける接 交点をFとすると, 理により FBA= ∠ACB, の実数解であるから、この判別式をDとすると D=(-1)²-4(1-6) DOであるから302438) P-850 -2√251525 また x²+xy²x²-2xy-y²+x+3 =(x+2)-(++(+9) =(12-6)1-1+1=P-P-50 2における5のと りうる値の範囲を求めればよい。 解答編 (問題A,B) 173 る。 f(0) 0 であるから, 0≦x≦1において 1(1)20 よって M=f(1)=1-3a f(x) =0 とすると [2] a>0 (x)の増減表は次のようになる。 Ja f'(x) + f(x) 0 0 極大 極小 AOPQ=-61+51 FAB= ∠ACB =∠ABCであるから AFABAABC FA=AB.AB 1 BC= a 5 とおくと <FAB= ∠ABC f(t) = 0 とすると f'(t)=3F2-21-5=(+1)3-5) f=-1. ゆえに, y=f(x) の グラフは右の図のよう になる。 1y() 2a√√a 例題 35 002 とする。 座標平面上の3点0(0, 0) P(cose, sin). Q(1, 3sin28) が三角形をなすとき, OPQの面積の最大値を求めよ。 sino=t とおき, OPQ を tで表す。 △OPQ= -1/2 |condo-3sin 20-shin0-1|-2|cond-ssin@cong-sino| -1/26sin0(1-sin°0)-sing|-2|-6sin'9+5sine| sin=t とおくと,002 から また f(t)=-6f +5t とおくと -1st≤1 = [ 22 一橋大 ] (x., Jr) A 10.0) (22) f'(t)=-18+5 における)の増減表は次のよう f(√)=20√a であ るから,f(x)=2√a 2√√√a f(t) = 0 とすると t 10 15 10 -1 10 1 6 6 t=± a O Ja √18 6 f' (t)] 0 + 0 になる。 となるxを求めると, C u=2FA=2 から a -2√2 5 -1 ... 2√2 3ax=2a√a より 3a 3 f'(0) + 0 - 0 + よって x=-a2/a F(r) ▼ 極大 ▼ 極小 +1202 とすると a²+a=-a (a−1) =-15 ここで(-2√2)=86v2. f(-1)=3. 175 (2√2)=-8+6√2 -12 であるから a=0, おけるf(α)の増減表は次のようにな -8-6√2-27 175 4 0 3 √2 また、6/2=72 より 8+6√2 <-8+9 =1で あるから -8+6√2<3 OTS (x+a)(x-2√a) = 0 x>0であるものは x=2√a 0≦x≦1において, f(x)| |f (1) であるから M=lf(1)|=1-3 1<2va すなわち ~ 4/1のとき 0≦x≦1において, f(x) slf(√)であるか ら M=\f(√a)|=2a√a (i) 1<√ すなわち 1 <αのとき 右のようになる。 1st1 におけるf (t) の増減表は f(t)=6t-5t=-f(t) であるから f(t) 極小 大 |f(-1)|=|f(t)| すなわち <as 1/2 のとき + 0 以上から -8-6√/2x²+xy²x²-2xy-y²+x+y≤3 極大 例えばx2 るから, ♪が最大となるαの値は 367 関数の最大・最小 x=1でもスニーでも一緒以上から 出題テーマと考え方。 M= ときのかの値は =27 8 国公立大発展レベル である。 の変化 ベル 文字数を含む絶対値関数の最大・最小 係数の範囲によって、 最大最小を与えるxの 値が変わることに注意。 1-3a (a<) 2a√ā (sa≤1) 3a-1 (1<a) A ここで f(0)=0. (10)=√10 (-6+5)=√10 (1)=-1 9 よってf(0)|<|S(1)||) であるから、最大値は 1.5VT05/10 2 9 18 B 0≦x≦1において, f(x) f(1) であるから M=lf(1)|=3a-1 *265 AB=AC=1, BC =α の二等辺三角形ABC の内接円をI,外接円をOとす る。ただし, 0<a<√2 である。また,三角形ABC と円Iの3つの接点を頂点 とする三角形をT, 3点 A, B, Cで円Oに外接する三角形をUとする。 三角形Tの, BC に平行な辺の長さをαで表せ。 ② 三角形Uの, BC に平行な辺の長さをαで表せ。 したがって、Mは4/13 で =pとするかが最大となるαの値と,そのときのかの値を求めよ。 [22 早稲田大) 出題テーマと考え方 は減少し、では増加 M10- 値のとりうる範囲 f(x)=f(x)が成り立つから, g(x)=f(x)]とお axyの関係式を導き, 対称式 考える。 よって、 g(x)は偶関数である 注意。 (x+y2-xy=6 ■次方程式pt+12-60 もの範囲を 求めるのに使う √1)=1³-3ax +5 f'(x)=3x²-3a=3(x²-α ) 20のとき ゆえに、区間 0≦x≦1 の範囲で最大値 M を考えれ ばよい。 <とg(x)=(-x)=1-f(x)x20.0で =1f(x)=g(x) 左右対称 するから,a=1で最小値 をとる。 4 参考αの関数 Mのグラフ は,右の図のようになる。 0 1 常にf(x) ≧0であるから,f(x)は増加関数であ 266 実数x, yが条件 x²+xy+y^2=6 を満たしながら動くとき, xy+xy2-x²-2xy-y'+x+y がとりうる値の範囲を求めよ。 [12 京都大 〕 α を実数とし、f(x) =x-3ax とする。 区間 -1≦x≦1 における f(x) | の最大値をMとする。 Mの最小値とそのときのαの値を求めよ。 [16 一橋大 ] 37 最大・最小 (微分法) 77

以下の問題の(2)と(3)を教えて欲しいです。 お願いします。

6 AB = 6, BC = 4, CA = 5 の △ABC があり, ∠ABCの二等分 A 線と辺 AC の交点をDとする。 また, ABCD の外接円と辺 AB の交 点のうち, Bと異なる点をEとする。 E D (1) 線分 AD の長さを求めよ。 (2) 線分AE の長さを求めよ。 また, 直線 DE と直線BCの交点をF B C とするとき, BF FC の値を求めよ。 (3)(2)のとき, 線分FCの長さを求めよ。 また, 線分FD の長さを求めよ。 (配点 25)

問題文中の「面が通過する部分の体積」とはどういうことでしょうか？ 回転体の体積と違って内接円の部分を引き算しなければならないのはなぜでしょうか？ 御回答よろしくお願い致します。

|基本 109 多面体を軸の周りに回転してできる立体の体積 000円 右の図のように、1辺の長さが2の正四面体を2つつなぎ 合わせた六面体がある。 この六面体を直線 PQ を軸として 回転させるとき、この六面体の面が通過する部分の体積V を求めよ。 A B 基本108 指針 「面が通過する部分の体積」 とあるから,単純にはいかない。 そこで、回転体 断面をつかむに従って考えてみよう。 回転体を ABC を含む平面で切ったときの断面は,図のように なる(Oは△ABC の重心, Mは辺BCの中点)。 したがって, 面が通過する部分は, △ABCの外接円から, △ABC の内接円を くり抜いたものと考えられる。このことを立体全体に適用する と V=(内部が通過する部分の体積) (面が通過しない部分の体積) B M A 頂点Pから △ABCに垂線 POを 下ろし 辺BCの中点をMとする。 この六面体の内部が通過する部分の 体積は,半径 OAの円を底面とし, A 線分 OP を高さとする円錐の体積 の2倍である。 C ~M 0 B 注意 問題の六面体は, す べての面が合同な正三角形 であるが, 正多面体ではな い。なぜなら, 頂点に集ま る面の数が3または4のと ころがあり,一定ではない からである。 次に,この六面体の面が通過しない 部分の体積は,半径OMの円を底面とし, 線分 OP を高さ とする円錐の体積の2倍である。 よって V=2x 2×1/2・OAOP-2×1/2 OM-OP ・・・・・ ① △ACM は 30°60° 90°の直角三角形で, AC =2より,AM=√3であり,0は △ABCの重心であるから A= 2 - AM= 2√3 3 OA=123AM= √3 OM= = AM: またOP=√PA-OA=276 これらを ①に代入して V= v=OA-OM)-OP-(+). 2.646x 2 4 1 2√6 4√6 = 3 πC 3 9 C